Matrice inversa di una matrice triangolare
Ciao a tutti,
credo che la mia domanda sia piuttosto semplice...ma proprio non ci sto arrivando (spero sia l'orario).
La matrice inversa di una matrice triangolare superiore è ancora una matrice triangolare superiore. Ma perchè? Come si dimostra?
Ho dimostrato che il prodotto di due matrici triangolari superiori è ancora una matrice triangolare superiore (l'ho dimostrato "giocando" con gli indici della sommatoria del prodotto righe per colonne, osservando che se c(ij) è un elemento della matrice prodotto per i>j tale sommatoria è vuota quindi nulla).
Per l'altra dimostrazione, ho cercato di partire da AA'=I (con A triangolare superiore e A' matrice incognita) per dimostrare che a'(ij)=0 per i>j, ma non ci riesco.
Qualcuno mi aiuta?
grazie in anticipo!
credo che la mia domanda sia piuttosto semplice...ma proprio non ci sto arrivando (spero sia l'orario).
La matrice inversa di una matrice triangolare superiore è ancora una matrice triangolare superiore. Ma perchè? Come si dimostra?
Ho dimostrato che il prodotto di due matrici triangolari superiori è ancora una matrice triangolare superiore (l'ho dimostrato "giocando" con gli indici della sommatoria del prodotto righe per colonne, osservando che se c(ij) è un elemento della matrice prodotto per i>j tale sommatoria è vuota quindi nulla).
Per l'altra dimostrazione, ho cercato di partire da AA'=I (con A triangolare superiore e A' matrice incognita) per dimostrare che a'(ij)=0 per i>j, ma non ci riesco.
Qualcuno mi aiuta?
grazie in anticipo!
Risposte
Ma sai calcolare la matrice inversa di una data?
Non capisco se la tua risposta è ironica..comunque sì, ovvio che la so calcolare.
A me, naturalmente, serve una dimostrazione di tipo generale non una verifica della proprietà in un caso particolare.
Ho provato anche a partire dalla forma della matrice A' inversa della matrice A, cioè A'= 1/detA * (trasposta della matrice dei cofattori), ma non sono riuscito a dimostrare quello che volevo.
Sperando che la tua risposta non sia stata una "presa in giro", potresti darmi una dritta?
A me, naturalmente, serve una dimostrazione di tipo generale non una verifica della proprietà in un caso particolare.
Ho provato anche a partire dalla forma della matrice A' inversa della matrice A, cioè A'= 1/detA * (trasposta della matrice dei cofattori), ma non sono riuscito a dimostrare quello che volevo.
Sperando che la tua risposta non sia stata una "presa in giro", potresti darmi una dritta?
Che ne dici di partire dalla formula che hai appena ricordato? Tieni conto che il determinante di una matrice triangolare ha tutti zeri sulla diagonale principale. Da questa osservazione dovrebbe discendere che si annullano parecchi cofattori, precisamente tutti quelli al di sotto della diagonale principale. Vedi un po' se riesci a concludere per questa via.
"dissonance":
Che ne dici di partire dalla formula che hai appena ricordato? Tieni conto che il determinante di una matrice triangolare ha tutti zeri sulla diagonale principale. Da questa osservazione dovrebbe discendere che si annullano parecchi cofattori, precisamente tutti quelli al di sotto della diagonale principale. Vedi un po' se riesci a concludere per questa via.
GRAZIE!! Era proprio quella la via!
per ogni elemento a'(ij) dell'inversa con i>j, il minore A(ji) (triangolare superiore) che entra nel calcolo del cofattore ha determinante nullo avendo degli zeri sulla diagonale principale. Grazie ancora.
Uops, mi è scappata una frase senza senso:
Volevo dire che il determinante di una matrice triangolare con almeno uno zero sulla diagonale principale si annulla... Comunque vedo che hai risolto lo stesso. Meglio così!
Ciao!
"dissonance":
Tieni conto che il determinante di una matrice triangolare ha tutti zeri sulla diagonale principale.
Volevo dire che il determinante di una matrice triangolare con almeno uno zero sulla diagonale principale si annulla... Comunque vedo che hai risolto lo stesso. Meglio così!
Ciao!
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