Matrice inversa
Come si determina l'inversa della matrice appartenente all'insieme
$ A=$$((a,b),(-b,a))$|a,b$in$$ZZ$ $ ??
Devo trovare una matrice sempre appartenente ad A che moltiplicata a destra e a sinistra con una generica matrice di A mi dia la matrice identica..ma non riesco a determinarla!!
$ A=$$((a,b),(-b,a))$|a,b$in$$ZZ$ $ ??
Devo trovare una matrice sempre appartenente ad A che moltiplicata a destra e a sinistra con una generica matrice di A mi dia la matrice identica..ma non riesco a determinarla!!
Risposte
Beh, queste matrici non spuntano fuori solitamente nello studio di problemi geometrici. Mi viene piuttosto da pensare ai gruppi abeliani liberi e forse la sezione di algebra sarebbe più indicata.
In ogni caso, pensando la matrice come un elemento di [tex]\mathbb{R}^{2,2}[/tex], sappiamo che la sua (unica) inversa è
[tex]\frac{1}{\det A} \cdot \left( \begin{matrix}a & -b \\ b & a\end{matrix}\right)[/tex]
e quindi deve sostanzialmente succedere che [tex]\det A = a^2+b^2[/tex] divida tutte le entrate della matrice. Ma questo può accadere solo se [tex]a = 0, b= \pm 1[/tex] oppure [tex]a =\pm 1, b = 0[/tex]. Infatti, se [tex]a \ne 0[/tex] e [tex]b \ne 0[/tex] allora [tex]a^2+b^2 > \max{|a|,|b|}[/tex] e quindi la relazione di divisibilità non può reggere. Se poi [tex]b = 0[/tex] allora [tex]a^2 \mid a[/tex] implica [tex]a = k a^2[/tex] da cui [tex]a(ka-1) = 0[/tex] e quindi [tex]a = 0[/tex] (che scartiamo), oppure [tex]k a = 1[/tex], che in [tex]\mathbb{Z}[/tex] ha come unica soluzione [tex]a = \pm 1[/tex] ([tex]k = \pm 1[/tex]).
In ogni caso, pensando la matrice come un elemento di [tex]\mathbb{R}^{2,2}[/tex], sappiamo che la sua (unica) inversa è
[tex]\frac{1}{\det A} \cdot \left( \begin{matrix}a & -b \\ b & a\end{matrix}\right)[/tex]
e quindi deve sostanzialmente succedere che [tex]\det A = a^2+b^2[/tex] divida tutte le entrate della matrice. Ma questo può accadere solo se [tex]a = 0, b= \pm 1[/tex] oppure [tex]a =\pm 1, b = 0[/tex]. Infatti, se [tex]a \ne 0[/tex] e [tex]b \ne 0[/tex] allora [tex]a^2+b^2 > \max{|a|,|b|}[/tex] e quindi la relazione di divisibilità non può reggere. Se poi [tex]b = 0[/tex] allora [tex]a^2 \mid a[/tex] implica [tex]a = k a^2[/tex] da cui [tex]a(ka-1) = 0[/tex] e quindi [tex]a = 0[/tex] (che scartiamo), oppure [tex]k a = 1[/tex], che in [tex]\mathbb{Z}[/tex] ha come unica soluzione [tex]a = \pm 1[/tex] ([tex]k = \pm 1[/tex]).
Ok grazie!!!
In realtà quanto ho detto prima può essere leggermente precisato: sia [tex]\mathcal{A} = \mathbb{Z}^{n,n} \subset \mathbb{R}^{n,n}[/tex]. Allora [tex]A[/tex] è invertibile in [tex]\mathcal{A}[/tex] se e solo se [tex]\det A = \pm 1[/tex].
Infatti, se [tex]\det A = \pm 1[/tex] allora la regola per determinare l'inversa di una matrice ([tex]A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mbox{adj}(A)[/tex]) opera, nella sua dimostrazione, una sola divisione: la divisione per il determinante della matrice. Quindi tutti i passaggi rimangono leciti anche in [tex]\mathcal{A}[/tex] (nel senso che [tex]\mbox{adj}(A) \in \mathcal{A}[/tex]). Inoltre, essendo [tex]\det A = \pm 1[/tex], allora la matrice risultante dalla divisione dell'aggiunta per il determinante è sicuramente ancora una matrice a coefficienti interi.
Viceversa, supponiamo che esista una matrice [tex]B \in \mathcal{A}[/tex] tale che [tex]AB = BA = I[/tex]. Allora, per la regola di Binet (nella cui dimostrazione non vengono effettuate divisioni) produce [tex]\det A \det B = 1[/tex]. Dal momento che [tex]A \in \mathbb{Z}^{n,n}[/tex] allora [tex]\det A \in \mathbb{Z}[/tex] e lo stesso vale per [tex]\det B[/tex]; senonché le uniche coppie di interi che soddisfano la precedente relazione sono [tex](1,1)[/tex] e [tex](-1,-1)[/tex], da cui otteniamo che se [tex]A[/tex] è invertibile in [tex]\mathcal{A}[/tex] allora [tex]\det A = \pm 1[/tex].
Nell'esercizio precedente, allora otteniamo [tex]a^2 +b^2 = \pm 1[/tex]. Dal momento che la somma di quadrati è sempre positiva, allora siamo ridotti a considerare l'equazione diofantea [tex]a^2+b^2 = 1[/tex], che ha come uniche soluzioni quelle che ho postato prima.
Infatti, se [tex]\det A = \pm 1[/tex] allora la regola per determinare l'inversa di una matrice ([tex]A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mbox{adj}(A)[/tex]) opera, nella sua dimostrazione, una sola divisione: la divisione per il determinante della matrice. Quindi tutti i passaggi rimangono leciti anche in [tex]\mathcal{A}[/tex] (nel senso che [tex]\mbox{adj}(A) \in \mathcal{A}[/tex]). Inoltre, essendo [tex]\det A = \pm 1[/tex], allora la matrice risultante dalla divisione dell'aggiunta per il determinante è sicuramente ancora una matrice a coefficienti interi.
Viceversa, supponiamo che esista una matrice [tex]B \in \mathcal{A}[/tex] tale che [tex]AB = BA = I[/tex]. Allora, per la regola di Binet (nella cui dimostrazione non vengono effettuate divisioni) produce [tex]\det A \det B = 1[/tex]. Dal momento che [tex]A \in \mathbb{Z}^{n,n}[/tex] allora [tex]\det A \in \mathbb{Z}[/tex] e lo stesso vale per [tex]\det B[/tex]; senonché le uniche coppie di interi che soddisfano la precedente relazione sono [tex](1,1)[/tex] e [tex](-1,-1)[/tex], da cui otteniamo che se [tex]A[/tex] è invertibile in [tex]\mathcal{A}[/tex] allora [tex]\det A = \pm 1[/tex].
Nell'esercizio precedente, allora otteniamo [tex]a^2 +b^2 = \pm 1[/tex]. Dal momento che la somma di quadrati è sempre positiva, allora siamo ridotti a considerare l'equazione diofantea [tex]a^2+b^2 = 1[/tex], che ha come uniche soluzioni quelle che ho postato prima.
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