Matrice inversa
Salve, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio.
Determinare l'inversa della seguente matrice M appartenente a $M_{4x4}$ $(Z_7)$
M = $ ( ( 0 , 0 , 2 , 3 ),( 3 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 0 ) ) $
Usando Gauss ho ottenuto:
M = $ ( ( 0, 1/3 , 0 , -2/9 ),( 0 , 0 , 0 , 1/3 ),( 0 , 0 , 1/3 , 0 ),( 1/3 , 0 , -2/9 , 0 ) ) $
è corretto fin qui?
A questo punto il problema è la conversione in Z7. Ho capito che devo considerare il resto della divisione per 7 del numero iniziale, ma non so come fare per i numeri minori di 7, i numeri negativi e le frazioni.
Grazie in anticipo
Determinare l'inversa della seguente matrice M appartenente a $M_{4x4}$ $(Z_7)$
M = $ ( ( 0 , 0 , 2 , 3 ),( 3 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 0 ) ) $
Usando Gauss ho ottenuto:
M = $ ( ( 0, 1/3 , 0 , -2/9 ),( 0 , 0 , 0 , 1/3 ),( 0 , 0 , 1/3 , 0 ),( 1/3 , 0 , -2/9 , 0 ) ) $
è corretto fin qui?
A questo punto il problema è la conversione in Z7. Ho capito che devo considerare il resto della divisione per 7 del numero iniziale, ma non so come fare per i numeri minori di 7, i numeri negativi e le frazioni.
Grazie in anticipo
Risposte
per poter inserire una matrice scritta bene in questo forum..
usa questo codice
al posto dei "?" ci devi inserire i numeri..ti verrà fuori una matrice in questo caso 3x3
per una matrice 4x4 il codice è
poi ti consiglio di leggere qui ti spiega come scrivere le formule matematiche su questo forum..
usa questo codice
$ ( ( ? , ? , ? ),( ? , ? , ? ),( ? , ? , ? ) ) $
al posto dei "?" ci devi inserire i numeri..ti verrà fuori una matrice in questo caso 3x3
per una matrice 4x4 il codice è
$ ( ( ? , ? , ? , ? ),( ? , ? , ? , ? ),( ? , ? , ? , ? ),( ? , ? , ? , ? ) ) $
poi ti consiglio di leggere qui ti spiega come scrivere le formule matematiche su questo forum..
Ok fatto
Premettendo che non so che stai facendo e che cosa sia quella riduzione a Gauss io l inversa la calcolo con un'altra formula
$ 1/det A • t[Mca] $ che sarebbe la matrice dei complementi algebrici (in pratica elimini la colonna e la riga su cui giace il numero che devi trovare e trovi il det. Degli altri e lo metti in quel posto (nei posti dispari devi cambiare di segno).
Per esempio nella matrice $ ( (1,0,1) , (1,2,1) , (1,0,0) ) $ nel primo posto (a11) si mette (annullando la prima riga e prima colonna) il det. Della matrice $ ( (2,1) , (0,0) ) $ nel secondo (a12) il determinante trovato annullando la 2 colonna e la prima riga (ma cambiato di segno , ossio det di $ ( (1,1) , (1,0) ) $ andando avanti cosi per tutti i numeri trovi la matrice dei complementi algebrici che in sto caso è $ ( (0,1,-2) , (0,-1,0) , (-2,0,2) ) $ poi fai la trasposta e la moltiplichi per $ 1/det A $ e viene $ -1/2 ( (0,0,-2) , (1,-1,0) , (-2,0,2) ) $
$ 1/det A • t[Mca] $ che sarebbe la matrice dei complementi algebrici (in pratica elimini la colonna e la riga su cui giace il numero che devi trovare e trovi il det. Degli altri e lo metti in quel posto (nei posti dispari devi cambiare di segno).
Per esempio nella matrice $ ( (1,0,1) , (1,2,1) , (1,0,0) ) $ nel primo posto (a11) si mette (annullando la prima riga e prima colonna) il det. Della matrice $ ( (2,1) , (0,0) ) $ nel secondo (a12) il determinante trovato annullando la 2 colonna e la prima riga (ma cambiato di segno , ossio det di $ ( (1,1) , (1,0) ) $ andando avanti cosi per tutti i numeri trovi la matrice dei complementi algebrici che in sto caso è $ ( (0,1,-2) , (0,-1,0) , (-2,0,2) ) $ poi fai la trasposta e la moltiplichi per $ 1/det A $ e viene $ -1/2 ( (0,0,-2) , (1,-1,0) , (-2,0,2) ) $
altro metodo per calcolare la matrice inversa, senza fare uso dei complementi algebrici!
se tu hai questa matrice $ A=( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) $
e vuoi trovare la sua inversa.. puoi procedere in questo modo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1
\end{array}\right)[/tex]
se riesci ad ottenere questo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
0&1&0&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\
0&0&1&b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{array}\right)[/tex]
Allora la tua $ A^(-1)=( ( b_(11) , b_(12) , b_(13) ),( b_(21) , b_(22) , b_(23) ),( b_(31) , b_(32) , b_(33) ) ) $
cioè in poche parole questa matrice affiancata $I= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ devi riuscire a portarla dalla parte opposta.. al suo posto ti uscirà la matrice inversa.
$ (A|I)\to (I|A^(-1)) $
come fare tutto questo? utilizzando il metodo di Gauss
se tu hai questa matrice $ A=( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) $
e vuoi trovare la sua inversa.. puoi procedere in questo modo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1
\end{array}\right)[/tex]
se riesci ad ottenere questo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
0&1&0&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\
0&0&1&b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{array}\right)[/tex]
Allora la tua $ A^(-1)=( ( b_(11) , b_(12) , b_(13) ),( b_(21) , b_(22) , b_(23) ),( b_(31) , b_(32) , b_(33) ) ) $
cioè in poche parole questa matrice affiancata $I= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ devi riuscire a portarla dalla parte opposta.. al suo posto ti uscirà la matrice inversa.
$ (A|I)\to (I|A^(-1)) $
come fare tutto questo? utilizzando il metodo di Gauss
Esattamente 21zuclo... Ho usato proprio quel metodo. Uno di voi saprebbe spiegarmi la conversione in Z7?
Grazie a entrambi di aver risposto
"dverrastro":
A questo punto il problema è la conversione in Z7. Ho capito che devo considerare il resto della divisione per 7 del numero iniziale, ma non so come fare per i numeri minori di 7, i numeri negativi e le frazioni.
Grazie a entrambi di aver risposto
Mi sono incuriosito su questo metodo e sono andato a vedere su internet. Se per esempio prendo la matrice
$ ( (1,2,0) , (1,0,-1) , (0,1,1) ) $
si parte dalla matrice $ ( (1,2,0,1,0,0) , (1,0,-1,0,1,0) , (0,1,1,0,0,1) ) $ e si riduce a Gauss fino a trovare
$ ( (1,2,0,1,0,0) , (0,-2,-1,-1,1,0) , (0,0,1/2,-1/2,1/2,1) ) $ poi si porta la matrice unita nelle prime tre colonne moltiplicando la seconda riga per -1/2 e la terza per 2 cosi abbiamo la matrice $ ( (1,2,0,1,0,0) , (0,1,1/2,1/2,-1/2,0) , (0,0,1,-1,1,2) ) $
da qui basta cavare quel 2 dalla prima riga e quel 1/2 dalla seconda per avere l identità all inizio sottraendo la seconda riga nella prima moltiplicata per -2 (la seconda) e la terza nella seconda moltiplicata per -1/2 (la terza)
cosi si trova l inversa $ ( (-1,2,2) , (1,-1,-1) , (-1,1,2) ) $
Ciao!
$ ( (1,2,0) , (1,0,-1) , (0,1,1) ) $
si parte dalla matrice $ ( (1,2,0,1,0,0) , (1,0,-1,0,1,0) , (0,1,1,0,0,1) ) $ e si riduce a Gauss fino a trovare
$ ( (1,2,0,1,0,0) , (0,-2,-1,-1,1,0) , (0,0,1/2,-1/2,1/2,1) ) $ poi si porta la matrice unita nelle prime tre colonne moltiplicando la seconda riga per -1/2 e la terza per 2 cosi abbiamo la matrice $ ( (1,2,0,1,0,0) , (0,1,1/2,1/2,-1/2,0) , (0,0,1,-1,1,2) ) $
da qui basta cavare quel 2 dalla prima riga e quel 1/2 dalla seconda per avere l identità all inizio sottraendo la seconda riga nella prima moltiplicata per -2 (la seconda) e la terza nella seconda moltiplicata per -1/2 (la terza)
cosi si trova l inversa $ ( (-1,2,2) , (1,-1,-1) , (-1,1,2) ) $
Ciao!
Si il metodo lo so applicare. vorrei sapere come fare la seconda parte, cioè la conversione in Z7.
Grazie
"dverrastro":
A questo punto il problema è la conversione in Z7. Ho capito che devo considerare il resto della divisione per 7 del numero iniziale, ma non so come fare per i numeri minori di 7, i numeri negativi e le frazioni.
Grazie
In teoria dovresti fare direttamente i calcoli in \(\mathbb{Z}_7\). Insomma invece di dividere per 3 devi moltiplicare per 5, che è il suo inverso in quel campo. Nel caso di 2 è 4, e 6 è l'inverso di se stesso. E ovviamente devi fare i resti man mano che fai i calcoli. Non è difficilissimo.
Forse funziona anche una conversione successiva ma potrebbe immagino dare problemi. Non ci ho mai pensato devo dire.
Forse funziona anche una conversione successiva ma potrebbe immagino dare problemi. Non ci ho mai pensato devo dire.
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