Matrice inversa
Dunque io devo scrivere l'equazione di cambiamento di base da quella canonica alla base B definita dai vettori $v_1=(1,0,1), v_2=(1,-1,1),v_3=(0,1,1)$
Quindi verifico che siano LI guardando se il determinante della matrice che formano non è nullo.
$|A|=|(1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1)|=-1!=0$ ok quindi la base $B\inRR^3$
La base canonica è $B_c={e_1,e_2,e_3}={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
quindi scrivo un generico vettore $v=(x,y,z) \inRR^3$ quindi $[v]_(B_c)=(x,y,z)$ mentre $[v]_B=(x',y',z')$
faccio i vari passaggi per arrivare a dire che $(x,y,z)=A(x',y',z')$
A questo punto per concludere inverto la matrice A con cramer
$(A^-1)_(ij)=1/(|A|)(\alpha_(ij)), \alpha_(ij)=(-1)^(i+j)|A_(ji)|$
quindi calcolo gli elementi della matrice.
$1/|A|=1$
$\alpha_(11)= |(-1,1),(1,1)|=-2$ e così via. Scrivo i risultati degli elementi senza stare a mettere sempre la stessa formula. Mi viene quindi:
$\alpha_(11)=-1, \alpha_(21)=-1, \alpha_(31)=1, \alpha_(21)=0, \alpha_(22)=1, \alpha_(23)=0, \alpha_(31)=1, \alpha_(32)=-1, \alpha_(33)=-1$
quindi
$A^-1=((-2,-1,1),(0,1,0),(1,-1,-1))$ mentre nella soluzione viene $A^-1=((-2,1,-1),(-1,-1,1),(-1,0,1))$
Premetto che sulla matrice A non ho sottratto la prima colonna con la seconda così da avere la prima con la seconda entrata =1 e le altre 0
Cosa sbaglio?
Quindi verifico che siano LI guardando se il determinante della matrice che formano non è nullo.
$|A|=|(1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1)|=-1!=0$ ok quindi la base $B\inRR^3$
La base canonica è $B_c={e_1,e_2,e_3}={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
quindi scrivo un generico vettore $v=(x,y,z) \inRR^3$ quindi $[v]_(B_c)=(x,y,z)$ mentre $[v]_B=(x',y',z')$
faccio i vari passaggi per arrivare a dire che $(x,y,z)=A(x',y',z')$
A questo punto per concludere inverto la matrice A con cramer
$(A^-1)_(ij)=1/(|A|)(\alpha_(ij)), \alpha_(ij)=(-1)^(i+j)|A_(ji)|$
quindi calcolo gli elementi della matrice.
$1/|A|=1$
$\alpha_(11)= |(-1,1),(1,1)|=-2$ e così via. Scrivo i risultati degli elementi senza stare a mettere sempre la stessa formula. Mi viene quindi:
$\alpha_(11)=-1, \alpha_(21)=-1, \alpha_(31)=1, \alpha_(21)=0, \alpha_(22)=1, \alpha_(23)=0, \alpha_(31)=1, \alpha_(32)=-1, \alpha_(33)=-1$
quindi
$A^-1=((-2,-1,1),(0,1,0),(1,-1,-1))$ mentre nella soluzione viene $A^-1=((-2,1,-1),(-1,-1,1),(-1,0,1))$
Premetto che sulla matrice A non ho sottratto la prima colonna con la seconda così da avere la prima con la seconda entrata =1 e le altre 0
Cosa sbaglio?
Risposte
@Shika93,
mmmm non ho capito cosa devi fare o cosa vuoi di preciso, vuoi l'inversa? Se si, di chi? Vuoi le equazioni cambiamento di base? E poi...
perchè questa verifica? Se per ipotesi \( B:=(v_1,v_2,v_3)\) è base allora per definizione \( B \) è già linearmente indipendente... sai la definizione di base di uno spazio vettoriale?
Saluti
"Shika93":
Dunque io devo scrivere l'equazione di cambiamento di base da quella canonica alla base B definita dai vettori $v_1=(1,0,1), v_2=(1,-1,1),v_3=(0,1,1)$
Quindi verifico che siano LI guardando se il determinante della matrice che formano non è nullo.
$|A|=|(1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1)|=-1!=0$ ok quindi la base $B\inRR^3$
La base canonica è $B_c={e_1,e_2,e_3}={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
quindi scrivo un generico vettore $v=(x,y,z) \inRR^3$ quindi $[v]_(B_c)=(x,y,z)$ mentre $[v]_B=(x',y',z')$
faccio i vari passaggi per arrivare a dire che $(x,y,z)=A(x',y',z')$
A questo punto per concludere inverto la matrice A con cramer
$(A^-1)_(ij)=1/(|A|)(\alpha_(ij)), \alpha_(ij)=(-1)^(i+j)|A_(ji)|$
quindi calcolo gli elementi della matrice.
$1/|A|=1$
$\alpha_(11)= $|(-1,1),(1,1)|$=-2$ e così via. Scrivo i risultati degli elementi senza stare a mettere sempre la stessa formula. Mi viene quindi:
$\alpha_(11)=-1, \alpha_(21)=-1, \alpha_(31)=1, \alpha_(21)=0, \alpha_(22)=1, \alpha_(23)=0, \alpha_(31)=1, \alpha_(32)=-1, \alpha_(33)=-1$
quindi
$A^-1=((-2,-1,1),(0,1,0),(1,-1,-1))$ mentre nella soluzione viene $A^-1=((-2,1,-1),(-1,-1,1),(-1,0,1))$
Premetto che sulla matrice A non ho sottratto la prima colonna con la seconda così da avere la prima con la seconda entrata =1 e le altre 0
Cosa sbaglio?
mmmm non ho capito cosa devi fare o cosa vuoi di preciso, vuoi l'inversa? Se si, di chi? Vuoi le equazioni cambiamento di base? E poi...
"Shika93":
Dunque io devo scrivere l'equazione di cambiamento di base da quella canonica alla base B definita dai vettori $v_1=(1,0,1), v_2=(1,-1,1),v_3=(0,1,1)$
Quindi verifico che siano LI guardando se il determinante della matrice che formano non è nullo.
$|A|=|(1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1)|=-1!=0$ ok quindi la base $B\inRR^3$
perchè questa verifica? Se per ipotesi \( B:=(v_1,v_2,v_3)\) è base allora per definizione \( B \) è già linearmente indipendente... sai la definizione di base di uno spazio vettoriale?
Saluti
"garnak.olegovitc":
[quote="Shika93"]Dunque io devo scrivere l'equazione di cambiamento di base da quella canonica alla base B definita dai vettori $v_1=(1,0,1), v_2=(1,-1,1),v_3=(0,1,1)$
Quindi verifico che siano LI guardando se il determinante della matrice che formano non è nullo.
$|A|=|(1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1)|=-1!=0$ ok quindi la base $B\inRR^3$
perchè questa verifica? Se per ipotesi \( B:=(v_1,v_2,v_3)\) è base allora per definizione \( B \) è già linearmente indipendente... sai la definizione di base di uno spazio vettoriale?[/quote]
Se qualcuno ti dicesse che buttandoti dal 30-simo piano di un palazzo non ti spezzi le gambine, tu non vorresti prima verificare?
Ok, risolto il problema del perchè verificarlo xD
Io devo scrivere l'equazione del cambio di base, quindi di fatto, devo cambiare base alla matrice dalla base canonica ad un'altra.
Per farlo, non so se è un teorema o che, so che devo calcolare la matrice inversa e definire un generico vettore $X'=(x_1',x_2',...,x_n')$ che identifica la nuova base.
Quindi la formula che devo usare è $X'=A^(-1)X$
A è definita dai vettori v1,v2,v3 quindi $A=((1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1))$
Facciamo finta che non vedo che posso sottrarre la prima colonna alla seconda per semplificarmi il calcolo dei determinanti.
Quindi per trovare la matrice inversa uso il metodo di cramer, ovvero $1/|A|$ per la matrice che calcolo col determinante di ogni minore della matrice (gli elementi sono gli $\alpha$ che ho calcolato sopra)
Voglio capire perchè io trovo una matrice e nel risultato sul libro ce n'è un'altra.
Avendo quindi l'inversa, la butto dentro la formula $X'=A^(-1)X$ e dovrei aver concluso.
Io devo scrivere l'equazione del cambio di base, quindi di fatto, devo cambiare base alla matrice dalla base canonica ad un'altra.
Per farlo, non so se è un teorema o che, so che devo calcolare la matrice inversa e definire un generico vettore $X'=(x_1',x_2',...,x_n')$ che identifica la nuova base.
Quindi la formula che devo usare è $X'=A^(-1)X$
A è definita dai vettori v1,v2,v3 quindi $A=((1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1))$
Facciamo finta che non vedo che posso sottrarre la prima colonna alla seconda per semplificarmi il calcolo dei determinanti.
Quindi per trovare la matrice inversa uso il metodo di cramer, ovvero $1/|A|$ per la matrice che calcolo col determinante di ogni minore della matrice (gli elementi sono gli $\alpha$ che ho calcolato sopra)
Voglio capire perchè io trovo una matrice e nel risultato sul libro ce n'è un'altra.
Avendo quindi l'inversa, la butto dentro la formula $X'=A^(-1)X$ e dovrei aver concluso.
con il metodo della matrice inversa mi era stato detto a lezione..e infatti il prof aveva fatto un esempio veloce ecc..
poi ad esercitazione è stato fatto un altro metodo che mi è piaciuto di più..posto qua l'esempio del mio esercitatore
sia $ f\in Hom(RR^3,RR^2) $, la matrice rappresentata rispetto alle basi canoniche $ A=( ( 2 , 0 , 2 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $
Determinare la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi
$ B=\{((1),(0),(1)), ((0),(2),(0)),((1),(0),(-1))\}, B'=\{((1),(1)),((2),(3))\} $
e ci ha detto che il metodo standard è quello di vedere come l'applicazione $f$ agisce sugli elementi della base B e di scrivere ciascun vettore trasformato come combinazione lineare della base B'.
I coefficienti di tali combinazioni costituiscono le colonne di $ M_B^(B')(f) $
Ti dico solo l'inizio $ f((1),(0),(1))=( ( 2 , 0 , 2 ),( 1 , -1 , 0 ) )\cdot ((1),(0),(1))=((4),(1))=a_(11)((1),(1))+a_(21)((2),(3)) $
da cui risolvendo il sistema lineare
$ { ( a_(11)+2a_(21)=4 ),( a_(11)+3a_(21)=1 ):}\to ... \to ((10),(3)) $ ok e hai trovato la prima colonna
spero ti sia chiaro.. così non dovrai trovare l'inversa..
poi ad esercitazione è stato fatto un altro metodo che mi è piaciuto di più..posto qua l'esempio del mio esercitatore
sia $ f\in Hom(RR^3,RR^2) $, la matrice rappresentata rispetto alle basi canoniche $ A=( ( 2 , 0 , 2 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $
Determinare la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi
$ B=\{((1),(0),(1)), ((0),(2),(0)),((1),(0),(-1))\}, B'=\{((1),(1)),((2),(3))\} $
e ci ha detto che il metodo standard è quello di vedere come l'applicazione $f$ agisce sugli elementi della base B e di scrivere ciascun vettore trasformato come combinazione lineare della base B'.
I coefficienti di tali combinazioni costituiscono le colonne di $ M_B^(B')(f) $
Ti dico solo l'inizio $ f((1),(0),(1))=( ( 2 , 0 , 2 ),( 1 , -1 , 0 ) )\cdot ((1),(0),(1))=((4),(1))=a_(11)((1),(1))+a_(21)((2),(3)) $
da cui risolvendo il sistema lineare
$ { ( a_(11)+2a_(21)=4 ),( a_(11)+3a_(21)=1 ):}\to ... \to ((10),(3)) $ ok e hai trovato la prima colonna
spero ti sia chiaro.. così non dovrai trovare l'inversa..
Ho un problema nel calcolo della matrice inversa di
$A=[(1,1,24),(0,2,15),(1,-1,30)]$
Mi dite se sbaglio approccio?
1) verifico che $det(A)!=0$
2)calcolo scrivo la trasposta
$A^T=[(1,0,1),(1,2,-1),(24,-1,30)]$
3) complemento la trasposta. Indico con $c_(ij)$ gli elementi dell'inversa:
$c_(11)=|(2,-1),(15,30)|=75$
$c_(12)=|(1,-1),(24,30)|=75$
Ecc...
Ho il dubbio che nel complemento devo moltiplicare il determinante per l'elemento corrispondente nella trasposta come si fa sempre per i determinanti. Ho guardato su un sito (questo) ma non lo fa. Eppure mi viene un risultato sbagliato perchè l'ho verificato con un tool online per il calcolo delle inverse. A me viene
$A^T=[(75,54,-33),(-15,6,15),(-2,-2,2)]$
Edit: Ma sono un idiota!! Mi dimenticavo di moltiplicarla per 1/det(A)!! Ecco perchè non mi veniva!
$A=[(1,1,24),(0,2,15),(1,-1,30)]$
Mi dite se sbaglio approccio?
1) verifico che $det(A)!=0$
2)calcolo scrivo la trasposta
$A^T=[(1,0,1),(1,2,-1),(24,-1,30)]$
3) complemento la trasposta. Indico con $c_(ij)$ gli elementi dell'inversa:
$c_(11)=|(2,-1),(15,30)|=75$
$c_(12)=|(1,-1),(24,30)|=75$
Ecc...
Ho il dubbio che nel complemento devo moltiplicare il determinante per l'elemento corrispondente nella trasposta come si fa sempre per i determinanti. Ho guardato su un sito (questo) ma non lo fa. Eppure mi viene un risultato sbagliato perchè l'ho verificato con un tool online per il calcolo delle inverse. A me viene
$A^T=[(75,54,-33),(-15,6,15),(-2,-2,2)]$
Edit: Ma sono un idiota!! Mi dimenticavo di moltiplicarla per 1/det(A)!! Ecco perchè non mi veniva!
un consiglio.. l'avevo visto ad esercitazione
per calcolare una matrice inversa.. invece di fare la trasposta dei complementi algebrici vi è anche questo modo (se sai maneggiare il Metodo di Gauss te lo consiglio)
se tu hai questa matrice $ A=( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) $
e vuoi trovare la sua inversa.. puo procedere in questo modo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1
\end{array}\right)[/tex]
se riesci ad ottenere questo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
0&1&0&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\
0&0&1&b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{array}\right)[/tex]
Allora la tua $ A^(-1)=( ( b_(11) , b_(12) , b_(13) ),( b_(21) , b_(22) , b_(23) ),( b_(31) , b_(32) , b_(33) ) ) $
cioè in poche parole questa matrice affiancata $I= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ devi riuscire a portarla dalla parte opposta.. al suo posto ti uscirà la matrice inversa.
$ (A|I)\to (I|A^(-1)) $
però ti consiglio di usarlo solo se, sai usare bene il Metodo di Gauss..
per calcolare una matrice inversa.. invece di fare la trasposta dei complementi algebrici vi è anche questo modo (se sai maneggiare il Metodo di Gauss te lo consiglio)
se tu hai questa matrice $ A=( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) $
e vuoi trovare la sua inversa.. puo procedere in questo modo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1
\end{array}\right)[/tex]
se riesci ad ottenere questo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
0&1&0&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\
0&0&1&b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{array}\right)[/tex]
Allora la tua $ A^(-1)=( ( b_(11) , b_(12) , b_(13) ),( b_(21) , b_(22) , b_(23) ),( b_(31) , b_(32) , b_(33) ) ) $
cioè in poche parole questa matrice affiancata $I= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ devi riuscire a portarla dalla parte opposta.. al suo posto ti uscirà la matrice inversa.
$ (A|I)\to (I|A^(-1)) $
però ti consiglio di usarlo solo se, sai usare bene il Metodo di Gauss..
Non l'ho usato quasi mai a dire il vero. Ho guardato solo la definizione e basta perchè poi in classe abbiamo fatto un esempio con la trasposta e i complementi.
Grazie comunque!
Grazie comunque!
Ho un problema. Spesso e volentieri non mi tornano i segni. Giusti gli elementi dell'inversa, ma non i segni...
Utilizzo questo tool per controllare se ho fatto giusto
http://www.federicobonfigli.com/calcolo ... versa.aspx
Mi controllate se è un problema mio o un problema del tool?
$A=((1,2,0),(2,-2,-1),(-1,-2,1))$ inversa: $A^(-1)=1/6((-4,2,-2),(1,1,-1),(-6,0,-6))$
Utilizzo questo tool per controllare se ho fatto giusto
http://www.federicobonfigli.com/calcolo ... versa.aspx
Mi controllate se è un problema mio o un problema del tool?
$A=((1,2,0),(2,-2,-1),(-1,-2,1))$ inversa: $A^(-1)=1/6((-4,2,-2),(1,1,-1),(-6,0,-6))$
guarda che
$ det ( ( 1 , 2 , 0 ),( 2 , -2 , -1 ),( -1 , -2 , 1 ) ) =+1| ( -2 , -1 ),( -2 , 1 ) |-2|(2,-1),(-1,1)|=-4-2=-6 $
cioè a me viene così..
per cui si ha $(1)/(det A)= -1/6$
$ det ( ( 1 , 2 , 0 ),( 2 , -2 , -1 ),( -1 , -2 , 1 ) ) =+1| ( -2 , -1 ),( -2 , 1 ) |-2|(2,-1),(-1,1)|=-4-2=-6 $
cioè a me viene così..
per cui si ha $(1)/(det A)= -1/6$
Non devo metterci il modulo del determinante?
"Shika93":
Non devo metterci il modulo del determinante?
la formula NON ha il valore assoluto..
per calcolare la matrice inversa..
devi moltiplicare la matrice aggiunta (che poi ne farai la trasposta) per \( \frac{1}{\det A} \)
ove \( A \in M_{n\times n } \)
Perchè in un altro corso nell'inversa dela 2x2 prendevamo il modulo e mi sembrava fosse così anche qua.
Magari quella era un'applicazione in cui per semplicità buttavamo via il segno.
Grazie
Magari quella era un'applicazione in cui per semplicità buttavamo via il segno.
Grazie
"Shika93":
Perchè in un altro corso nell'inversa dela 2x2 prendevamo il modulo e mi sembrava fosse così anche qua.
Magari quella era un'applicazione in cui per semplicità buttavamo via il segno.
Grazie
dipende dalla simbologia.. il determinante si può scrivere in uno dei seguenti modi
$det A$ oppure $|A|$
è probabile che tu abbia confuso quel simbolo come valore assoluto..
Ho ricontrollato il quaderno di quel corso. Niente, mi sono inventato io il modulo. Non esiste neanche lì.
Mea culpa xD
Mea culpa xD
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