MATRICE INDUCE APPLICAZIONE LINEARE
C'è qualcuno che saprebbe indicarmi un sito dove posso trovare la dimostrazione che ogni matrice si identifica con una applicazione lineare? oppure spiegarmela direttamente..
Quelle che ho trovato io sono diverse da come cel'ha fatta il prof, so che è molto generico perchè in queste cose si usano spesso, ma ho solo il ricordo visivo della lavagna in cui c'erano dei simboli di sommatoria(suppongo usati per definire le colonne della matice), mentre nelle dimostrazioni che ho trovato non ci sono... ed era anche corta come dimostrazione!
grazie anticipatamente
Quelle che ho trovato io sono diverse da come cel'ha fatta il prof, so che è molto generico perchè in queste cose si usano spesso, ma ho solo il ricordo visivo della lavagna in cui c'erano dei simboli di sommatoria(suppongo usati per definire le colonne della matice), mentre nelle dimostrazioni che ho trovato non ci sono... ed era anche corta come dimostrazione!
grazie anticipatamente
Risposte
una dimostrazione sta in Geometria1 di Sernesi, è un ottimo libro.. cmq sia v1,v2,...vn una base dello spazio di partenza e w1,w2,...wm quella dello spazio di arrivo, sia v nello spazio di partenza esso si scriverà come v=a1v1+....+anvn
allora sia F la tua trasformazione lineare dovrà essere F(v)=F(a1v1+...+anvn)=a1F(v1)+...+anF(vn). E quindi la F è nota una volta noto come agisce sui vettori della base. Ora poichè ogni F(vj) è un vettore dello spazio di arrivo devono esistere dei coefficienti che lo esprimono come combinazioni di vettori della base di arrivo F(vj)=M1jw1+...+Mmjwm e quindi hai trovato la matrice Mi,j che ti identifica l'applicazione.
Quindi ogni volta che hai una matrice le puoi associare una trasformazione lineare semplicemente hai che le colonne della matrice ti dicono le coordinate nella base di arrivo dei trasformati dei vettori della base di partenza[/code]
allora sia F la tua trasformazione lineare dovrà essere F(v)=F(a1v1+...+anvn)=a1F(v1)+...+anF(vn). E quindi la F è nota una volta noto come agisce sui vettori della base. Ora poichè ogni F(vj) è un vettore dello spazio di arrivo devono esistere dei coefficienti che lo esprimono come combinazioni di vettori della base di arrivo F(vj)=M1jw1+...+Mmjwm e quindi hai trovato la matrice Mi,j che ti identifica l'applicazione.
Quindi ogni volta che hai una matrice le puoi associare una trasformazione lineare semplicemente hai che le colonne della matrice ti dicono le coordinate nella base di arrivo dei trasformati dei vettori della base di partenza[/code]
scusami se sono un pò dura ma non ho capito una cosa:
fino a "Ora poichè ogni F(vj) è un vettore dello spazio di arrivo devono esistere dei coefficienti che lo esprimono come combinazioni di vettori della base di arrivo" mi torna, solo che che io avrei scritto rispetto alla base di arrivo F(vj)= b1(w1)......+bm(wm). non capisco come i coefficienti b1..bm siano M1j...M1m e diano origine alla matrice..
fino a "Ora poichè ogni F(vj) è un vettore dello spazio di arrivo devono esistere dei coefficienti che lo esprimono come combinazioni di vettori della base di arrivo" mi torna, solo che che io avrei scritto rispetto alla base di arrivo F(vj)= b1(w1)......+bm(wm). non capisco come i coefficienti b1..bm siano M1j...M1m e diano origine alla matrice..
Ciao alice88, la tua domanda ha una risposta semplice:
le colonne della matrice di trasformazione sono le componenti dell'immagine dei vettori di base...
le colonne della matrice di trasformazione sono le componenti dell'immagine dei vettori di base...
si ma per me b1..bm sono scalari (un numero solo insomma) mentre M1j .. Mmj sono colonne di numeri, quindi non capisco come vien fuori la matrice.
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