Matrice in Z_2 e Z_3

[Smoke666]

Ciao a tutti, ho un dubbio circa la risoluzione di questo esercizio:

Sia $F$ un campo, e consideriamo l'applicazione $T: F -> F$ che nella base standard è data da:

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
3 &-1 &1 \\
-1 &5 &-1 \\
1 &-1 &3
\end{bmatrix} \)

Trovare $Ker T$ e $Imm T$ quando $F =$\(\displaystyle \mathbb{R} \), $F =$\(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \) ,$F =$\(\displaystyle \mathbb{Z}_3 \)

In \(\displaystyle \mathbb{R} \) il problema è banale: riduco la matrice per righe e risolvo il sistema $Ax = 0$, che ha come soluzione il vettore $<(0,0,0)>$.

Ora arrivano i dolori. In \(\displaystyle \mathbb{Z}_3 \), ad esempio, io devo trasformare la matrice di partenza in una matrice di coefficienti in \(\displaystyle \mathbb{Z}_3 \) prima di lavorarci? Intendo, devo trasformare la matrice in questo modo:

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 &2 &1 \\
2 &2 &2 \\
1 &2 &0
\end{bmatrix} \)

ovvero sostituendo ai vari cofficienti il loro corrispettivo in \(\displaystyle \mathbb{Z}_3 \) ? (analogo a \(\displaystyle \mathbb{Z}_2\) )

Grazie in anticipo!

[ciampax]

Sì.

[Smoke666]

Ok, per completezza posto la soluzione, magari ho commesso qualche errore:

In \(\displaystyle \mathbb{Z}_3 \) avremo:

\(\displaystyle A = \begin{bmatrix}
0 & 2 & 1\\
2 & 2 & 2\\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix} \)

Dunque $Ker T$ è il solo vettore nullo $<(0,0,0)>$. Domanda: in questo caso, $Imm T$ corrisponde all'intera matrice A ?

In \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \) avremo:

\(\displaystyle A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix} \)

Dunque una base del nucleo sarà: $<(-1,1,0),(-1,0,1)>$, mentre $Imm T$ $=$ $<(3,-1,1)>$

Corretto?

[ciampax]

Sei sicuro di ciò che accede in $ZZ_3$? Perché il determinante della matrice è congruo a zero modulo 3, per cui la matrice dovrebbe essere singolare e questo significa che il nucleo è non banale.

[Smoke666]

"ciampax":Sei sicuro di ciò che accede in $ZZ_3$? Perché il determinante della matrice è congruo a zero modulo 3, per cui la matrice dovrebbe essere singolare e questo significa che il nucleo è non banale.

Hai ragione, avevo scritto male la matrice in $ZZ_3$ . Ho rifatto i conti, ora mi sorge un altro dubbio. Dunque, la matrice è:

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 &2 &1 \\
2 &2 &2 \\
1 &2 &0
\end{bmatrix} \)

Che ridotta per righe diventa:

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 &2 &2 \\
0 &2 &1 \\
0 &0 &0
\end{bmatrix} \)

Dunque il $Ker F = <(-2,-1,1)>$
e l'immagine sarà: $ImmF = <(3,-1,1),(-1,5,-1)>$

Ora, i vettori di $ImmF$ devo considerarli così come sono, o in modulo 3, essendo in $ZZ_3$ ?

[ciampax]

Sempre tutto modulo 3, anche quelli del nucleo.

[Smoke666]

Ok, dunque $Ker F = <(1,2,1)>$ e $Imm F = <(0,2,1)>,<(2,2,2)>$.

Ti ringrazio, il tuo è stato un aiuto prezioso!