Matrice identica e base ortonormale

[zio_mangrovia]

Sapete dirmi per quale proprietà vale questo enunciato:

Sia $A ∈ RR^(n×n)$ tale che $A∗A = I$, $I$ essendo la matrice identica,
allora le colonne formano una base ortonormale e $|detA| = 1$

det A uguale a uno mi torna perché il determinante di una trasposta è uguale al determinante della matrice di partenza mentre il prodotto dei determinanti è uguale al determinante del prodotto delle matrici, per cui...ok.
Ma la base ortonormale non capisco come faccia ad esserci.....!

[anto_zoolander]

Ma è $A*A$ o $A*A^t$?

[Jokah]

Verificarlo è piuttosto semplice, infatti succede che eseguendo il prodotto di una matrice, con sé stessa trasposta, l'elemento \(a_{ij}\) della matrice prodotto è dato dal prodotto scalare della i-esima riga di A, con la sua j-esima riga. (Ti torna?). Allora, ricordati che se due vettori sono ortogonali, si ha che il loro prodotto scalare è nullo. Se un vettore ha modulo unitario il suo prodotto scalare con sé stesso vale 1. Se il prodotto è la matrice identità, si ha che

\((aa^t)_{ij} = a_{i} \cdot a_{j} = \begin{cases} 1 & \mbox{se } \mbox{ i = j} \\ 0 & \mbox{se } i \neq j \end{cases}\)

Perché le righe della matrice \(A\) corrispondono con le colonne di \(A^t\) succede che ogni vettore è un versore (gli elementi sulla diagonale sono i prodotti scalari dei vettori con sé stessi) e ogni vettore è ortogonale a tutti gli altri (gli elementi fuori dalla diagonale sono nulli). Dato che i vettori sono ortogonali costituiscono una base. Visto che sono anche versori la base è ortonormale.

Per il discorso del determinante, ricordati che:

\(\mbox{det(AB) = det(A)det(B)}\) (teorema di Binet)
\(det(A) = det(A^t)\)

Unendo le due ottieni che (osservando che l'identità ha determinante 1)

\(det(A)det(A^t) = 1 \to \mbox{det(A)det(A) = 1} \to det(A)^2 = 1 \to \mbox{det(A)} = \pm 1 \)

[zio_mangrovia]

"anto_zoolander":Ma è $A*A$ o $A*A^t$?

scusate è $A^tA$

[Jokah]

Le considerazioni che ho fatto continuano a valere pari pari, sei fortunato

[dissonance]

@iTz_Ovah: Eh no, le considerazioni che hai fatto valgono se la proprietà è \(AA^T=I\). Mentre se richiediamo \(A^2=I\) è tutta un'altra storia. NON È VERO che \(A^2=I\) implica che le colonne di \(A\) formano una base ortonormale, esempio :
\[
A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}.\]

[Jokah]

Ma appunto lui non chiedeva il caso di \(A^2\). La mia frase voleva significare che il caso \(AA^{t} = I\) è analogo a quello di \(A^{t}A = I\) (trasponi entrambi i membri dell'uguaglianza e ricorda che \(I^{t} = I\))

[dissonance]

"iTz_Ovah":Ma appunto lui non chiedeva il caso di $A^2$. La mia frase voleva significare che il caso $AA^t = I$ è identico a quello di $A^tA = I$

È vero che \(A^TA=I\) si verifica se e solo se \(AA^T=I\), ma non è completamente ovvio da dimostrare. La prima condizione equivale ad avere colonne ortonormali mentre la seconda equivale ad avere righe ortonormali.

In ogni caso il post originale chiedeva se \(AA=I\) implica che le colonne di \(A\) sono ortonormali, e questo, come dicevo, è falso.