Matrice identica associata ad un appl lineare
Salve a tutti ... volevo togliermi questo dubbio:
Il mio libro sostiene che se ho un applicazione lineare tra due spazi vettoriali coincidenti e finito dimensionali allora la matrice associata all’app. Lineare di $V$ in se stesso e’ la matrice identica se e solo se le due basi coincidono. Viceversa sostiene che , fissata una base nel dominio, la matrice associata all’app lineare corrisponde alla matrice identica solo nel caso l’applicazione sia quella identica, cioè nel caso sia quella che restituisce come vettori immagine gli stessi vettori base del dominio...
Se però io fisso due basi diverse di dominio e condominio e definisco la mia applicazione come quella che ha per immagine esattamente i vettori che compongono la base del codominio, allora anche questa app. Lineare avrebbe come matrice associata quella identica, o mi sbaglio? Però aggiungerei che , sebbene coincidano nella matrice associata, quest’ultima non è ovviamente l’applicazione identica definita precedentemente, giusto?
Il mio libro sostiene che se ho un applicazione lineare tra due spazi vettoriali coincidenti e finito dimensionali allora la matrice associata all’app. Lineare di $V$ in se stesso e’ la matrice identica se e solo se le due basi coincidono. Viceversa sostiene che , fissata una base nel dominio, la matrice associata all’app lineare corrisponde alla matrice identica solo nel caso l’applicazione sia quella identica, cioè nel caso sia quella che restituisce come vettori immagine gli stessi vettori base del dominio...
Se però io fisso due basi diverse di dominio e condominio e definisco la mia applicazione come quella che ha per immagine esattamente i vettori che compongono la base del codominio, allora anche questa app. Lineare avrebbe come matrice associata quella identica, o mi sbaglio? Però aggiungerei che , sebbene coincidano nella matrice associata, quest’ultima non è ovviamente l’applicazione identica definita precedentemente, giusto?
Risposte
L'identità di $V$ è univocamente determinata dalla proprietà per cui $f(v)=v$ per ogni $v\in V$; questo a obbliga a mandare qualsiasi base in sé stessa, elemento per elemento.
Con ciò voglio dire che non puoi scegliere una base di qua e una base diversa di là e mandare un vettore dell'una in un vettore dell'altra biiettivamente; o meglio, lo puoi fare, ma la mappa che ottieni così facendo è un isomorfismo, non l'identità (che è un isomorfismo molto speciale).
Con ciò voglio dire che non puoi scegliere una base di qua e una base diversa di là e mandare un vettore dell'una in un vettore dell'altra biiettivamente; o meglio, lo puoi fare, ma la mappa che ottieni così facendo è un isomorfismo, non l'identità (che è un isomorfismo molto speciale).
Bene, ti ringrazio fmnq...
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