Matrice e vettore colonna
Siano $k in RR$ e $A=((1,1,1),(-1,k,1),(1,k^2,1)) in M_3(RR)$. Calcolare il determinante e il rango di A (questo l'ho fatto ma vorrei vedere se esiste un metodo più veloce del mio). Se $((k^2),(k),(k)) notin C_A$ (spazio colonna di A), quanto vale K?
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II questione:
Se ho sei vettori e voglio individuare quanti di essi sono linearmente indipendenti e voglio esibire uan base dello spazio vettoriale che essi formano, è corretto questo metodo:
scrivo la matrice dei vettori. la riduco e scala. Il rango è dato dalle righe diverse da 0; la base è data dai vettori che occupano le righe non nulle. E' corretto?
Quato metodo è anche applicabile negli spazi vettoriali costituiti da vettori colonna? Con quali accorgimenti e variazioni?
GRAZIE
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II questione:
Se ho sei vettori e voglio individuare quanti di essi sono linearmente indipendenti e voglio esibire uan base dello spazio vettoriale che essi formano, è corretto questo metodo:
scrivo la matrice dei vettori. la riduco e scala. Il rango è dato dalle righe diverse da 0; la base è data dai vettori che occupano le righe non nulle. E' corretto?
Quato metodo è anche applicabile negli spazi vettoriali costituiti da vettori colonna? Con quali accorgimenti e variazioni?
GRAZIE
Risposte
S.O.S.
Riguardo alla associazione tra vettori e ennuple e tra matrici e endomorfismi non c'è differenza tra righe e colonne, fintanto che rimani su un campo (cioè un corpo commutativo), diverso sarebbe coi queternioni ma è solo questione di notazione.
Il rango di una matrice è l'ordine della più grande sottomatrice con determinante diverso da zero.
Riguardo al metodo, beh, tipicamente si individua una sottomatrice non singolare e poi si comincia a "orlarla" con un'altra riga o colonna per formare un'altra sottomatrice e vedere se è singolare eccetrea, ma è inutile che scenda in particolare, sono sicuro che te lo hanno spiegato.
Una base di vettori indipendenti è data dalle righe o colonne che fanno parte della famosa sottomatrice con determinante diverso da zero di prima.
Riguardo al primo esercizio non so che voglia dire "spazio colonna di una matrice", forse un'autospazio relativo ad un autovalore?
Il rango di una matrice è l'ordine della più grande sottomatrice con determinante diverso da zero.
Riguardo al metodo, beh, tipicamente si individua una sottomatrice non singolare e poi si comincia a "orlarla" con un'altra riga o colonna per formare un'altra sottomatrice e vedere se è singolare eccetrea, ma è inutile che scenda in particolare, sono sicuro che te lo hanno spiegato.
Una base di vettori indipendenti è data dalle righe o colonne che fanno parte della famosa sottomatrice con determinante diverso da zero di prima.
Riguardo al primo esercizio non so che voglia dire "spazio colonna di una matrice", forse un'autospazio relativo ad un autovalore?
"spazio colonna di una matrice" è lo spazio vettoriale generato dai vettori colonna di una matrice....
Ho capito il tuo metodo per determinare la base cercata, ma il mio è corretto?
Grazie per avermi risposto
Ho capito il tuo metodo per determinare la base cercata, ma il mio è corretto?
Grazie per avermi risposto
a me il determinante risulta $2(1-k^2)$, di conseguenza il rango della matrice vale tre se tale determinante è non nullo, ovvero per $k^2 \ne 1$
se $k=-1$ la prima e la seconda colonna sono uguali, se $k=1$ lo sono la seconda e la terza, in entrambi i casi il rango è due.
spero di non aver detto troppe asinate...
se $k=-1$ la prima e la seconda colonna sono uguali, se $k=1$ lo sono la seconda e la terza, in entrambi i casi il rango è due.
spero di non aver detto troppe asinate...
Sì, rileggendo e comprendendo un tragico errore ortografico (riduco a scala -> riduco e scalo), vedo che il tuo è un celebre e utile metodo tradizionale e generale, tanto che molti algoritmi per calcolatore sono basati su di esso.
Comunque ciò che dice itpareid è corretto, faccio notare che gli "spazi colonna" in entrambi i casi (k=1 o -1) sono gli stessi, dunque concludo che per discriminare tra i due valori di k (solo questi due perché in tutti gli altri casi lo spazio colonna è tutto $RR^3$ e dunque $\forall k$ quel vettore gli appartiene) bisogna usare l'ultima condizione che hai dato, sostituendo in $((k^2),(k),(k))$ k=1 e -1 si ottengono rispettivamente $((1),(1),(1))$ e $((1),(-1),(-1))$ , quindi se vogliamo che questo non appartenga allo spazio si vede bene doversi scegliere $k=-1$
Comunque ciò che dice itpareid è corretto, faccio notare che gli "spazi colonna" in entrambi i casi (k=1 o -1) sono gli stessi, dunque concludo che per discriminare tra i due valori di k (solo questi due perché in tutti gli altri casi lo spazio colonna è tutto $RR^3$ e dunque $\forall k$ quel vettore gli appartiene) bisogna usare l'ultima condizione che hai dato, sostituendo in $((k^2),(k),(k))$ k=1 e -1 si ottengono rispettivamente $((1),(1),(1))$ e $((1),(-1),(-1))$ , quindi se vogliamo che questo non appartenga allo spazio si vede bene doversi scegliere $k=-1$
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