Matrice diagonalizzante
Ciao a tutti.
Ho questo problema:
Ho la matrice $D=((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1))$ e devo calcolare la matrice diagonalizzante.
Non riesco bene a capire come fare.
Ho cominciato così:
Ho calcolato il polinomio caratteristico e ottengo un autovalore semplice $\lambda_1=1$ e un autovalore doppio $\lambda_2=2$
Ora come procedo?
Ho questo problema:
Ho la matrice $D=((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1))$ e devo calcolare la matrice diagonalizzante.
Non riesco bene a capire come fare.
Ho cominciato così:
Ho calcolato il polinomio caratteristico e ottengo un autovalore semplice $\lambda_1=1$ e un autovalore doppio $\lambda_2=2$
Ora come procedo?
Risposte
Domanda: cos'è la matrice diagonalizzante?
PS: gli autovalori sono $1$, $2$, $-2$, tutti semplici, ovviamente
PS: gli autovalori sono $1$, $2$, $-2$, tutti semplici, ovviamente
Ok,riprovo con un altro esempio.
Ho la matrice $d=((1,0,0),(0,3,0),(0,0,2))$
Devo calcolare la matrice diagonalizzante:
calcoloo il polinomio caratteristico.
Ottengo tre autovalori che sono le radici del polinomio ovvero $\lambda=1,3,2$
Con l'autovalore $\lambda=1$ calcolo $(D-\lambda I)y=0$ e ottengo:
$((0,0,0),(0,2,0),(0,0,1))*((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$ ovvero $y=((1),(0),(0))$
Con l'autovalore $\lambda=3$ calcolo $(D-\lambda I)x=0$ e ottengo:
$((-2,0,0),(0,0,0),(0,0,-1))*((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$ ovvero $y=((0),(b),(0))$
Con l'autovalore $\lambda=2$ calcolo $(D-\lambda I)z=0$ e ottengo:
$((-1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))*((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$ ovvero $y=((0),(0),(c))$
Quindi la mia matrice diagonalizzante è:$P=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,3))$
Sbagliato?
Ho la matrice $d=((1,0,0),(0,3,0),(0,0,2))$
Devo calcolare la matrice diagonalizzante:
calcoloo il polinomio caratteristico.
Ottengo tre autovalori che sono le radici del polinomio ovvero $\lambda=1,3,2$
Con l'autovalore $\lambda=1$ calcolo $(D-\lambda I)y=0$ e ottengo:
$((0,0,0),(0,2,0),(0,0,1))*((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$ ovvero $y=((1),(0),(0))$
Con l'autovalore $\lambda=3$ calcolo $(D-\lambda I)x=0$ e ottengo:
$((-2,0,0),(0,0,0),(0,0,-1))*((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$ ovvero $y=((0),(b),(0))$
Con l'autovalore $\lambda=2$ calcolo $(D-\lambda I)z=0$ e ottengo:
$((-1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))*((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$ ovvero $y=((0),(0),(c))$
Quindi la mia matrice diagonalizzante è:$P=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,3))$
Sbagliato?
Ti ho chiesto una cosa mica per divertimento, ma perchè ritenevo (e ritengo) che tu , cercando di trovare la risposta,
arrivassi a capire la soluzione (che è immediata).
Ripeto: cos'è la matrice diagonalizzante?
arrivassi a capire la soluzione (che è immediata).
Ripeto: cos'è la matrice diagonalizzante?
la matrice diagonalizzante è quella matrice tale che $P^-1AP=D$ corretto?
Ok. Ma qua qual è $A$?
forse è questo il problema...
Infatti, secondo me è solo un problema di lettere. Abbiamo $D=((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1))$
Se si vuole trovare la matrice $P$ invertibile tale che $P^(-1)*D*P$ sia diagonale, è presto detto
$D$ è già diagonale, quindi basta prendere $P=I$ (matrice identità)
Se si vuole trovare la matrice $P$ invertibile tale che $P^(-1)*D*P$ sia diagonale, è presto detto
$D$ è già diagonale, quindi basta prendere $P=I$ (matrice identità)
Ma quindi la soluzione da me postata è sbagliata?
No, va bene. Se noti, seguendo il tuo metodo, ti viene anche che $P=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ va bene
Solo che è molto lungo. Meglio seguire un metodo molto più veloce, se c'è.
Solo che è molto lungo. Meglio seguire un metodo molto più veloce, se c'è.
Si, ok...
MA il metodo più veloce va bene solo in quel preciso caso o sbaglio?
MA il metodo più veloce va bene solo in quel preciso caso o sbaglio?
Hai ragione.
Se ad esempio hai $A=((1,1,0),(2,1,3),(0,0,1))$, cioè se hai una matrice di partenza non diagonale,
l'esercizio si risolve usando il metodo da te descritto prima. Non c'è altra via
Se ad esempio hai $A=((1,1,0),(2,1,3),(0,0,1))$, cioè se hai una matrice di partenza non diagonale,
l'esercizio si risolve usando il metodo da te descritto prima. Non c'è altra via
OK,ora è tutto molto chiaro.
Grazie mille...
Grazie mille...
Prego, figurati. Un consiglio: quando risolvi un esercizio non partire a razzo per cercare chissà quale strada,
solo perchè sai che si deve fare in un certo modo. Se ti capita un esercizio trabocchetto come questo
In fin dei conti, l'esercizio diceva: "Data una matrice diagonale, come renderla diagonale?"
solo perchè sai che si deve fare in un certo modo. Se ti capita un esercizio trabocchetto come questo
"Pozzetto":perdi solo del gran tempo per una stupidata
Ho la matrice $D=((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1))$ e devo calcolare la matrice diagonalizzante.
In fin dei conti, l'esercizio diceva: "Data una matrice diagonale, come renderla diagonale?"
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