Matrice diagonalizzante
Salve ho questo esercizio:
Sia $T:RR^3 -> RR^3$ l'applicazione lineare definita da:
$T(x,y,z) = (x, y+3z, x+y-z)$
1. Verificare che i vettori $v_1 = (0,3,1), v_2=(0,-1,1)$ e $v_3 = (-1, 1, 0)$ sono autovettori di $T$ e determinare i rispettivi autovalori.
2. Verificare che l'insieme $B = {v_1, v_2, v_3}$ è una base di $RR^3$.
3. Determinare la matrice (diagonale) $D$ associata a $T$ rispetto alla base $B$.
4. Determinare la matrice diagonalizzante $P$ (cioè la matrice $P$ tale che $P^(-1)AP = D)$
1) Ho calcolato le immagini dei vettori:
$T(v_1) = T(0,3,1) = (0,6,2) = 2*v_1$
$T(v_2) = T(0,-1,1) = (0,2,-2) = -2*v_2$
$T(v_3) = T(0,3,1) = (-1,1,0) = 1*v_3$
E quindi $v_1$ è un autovettore rispetto all'autovalore $\lambda = 2$; $v_2$ è un autovettore rispetto all'autovalore $\lambda = -2$ e $v_3$ è un autovettore rispetto all'autovalore $\lambda = 1$.
2) Per verificare che i tre vettori formassero una base di $RR^3$ ho verificato che la matrice associata ai tre vettori avesse determinante non nullo. Infatti $det != 0 rArr$ che la matrice ha rango massimo $rArr$ i vettori sono linearmente indipendenti. Ho quindi sviluppato con Laplace lungo la prima riga ed effettivamente il determinante è $!=0$ e quindi i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base per $RR^3$.
3) Per trovare la matrice $D$ diagonale ho semplicemente messo sulla diagonale i tre autovalori relativi ai tre autovettori che formano la base. È giusto? Se sì posso farlo "sempre" negli esercizi simili a questo?
Ad ogni modo la matrice è questa:
$D = ((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1)) $
4) Per quanto riguarda questo punto non so bene come muovermi perché io so che $P$ è la matrice che ha per colonne gli autovettori della matrice di "partenza" che nel nostro caso è:
$A = ((0,0,-1),(3,-1,1),(1,1,0)) $
Ma come faccio a trovare $P$? Metto semplicemente in colonna gli autovettori e poi mi calcolo $P^-1A$ mettendo in un'unica eliminazione di Gauss la matrice $P$ a sinistra e la matrice $A$ a destra? E quello che mi viene lo molto moltiplico per $P$? Perché io ho provato a fare così, ma non mi sembra mi venga.
Io ho ragionato così:
$D_(\beta,\beta) =(P^-1)_(\beta,\epsilon)A_(\epsilon,\epsilon)P_(\epsilon,\beta)$
La base a destra è quella in partenza e quella a sinistra quella in arrivo.
Grazie in anticipo per l'aiuto e buona giornata.
Sia $T:RR^3 -> RR^3$ l'applicazione lineare definita da:
$T(x,y,z) = (x, y+3z, x+y-z)$
1. Verificare che i vettori $v_1 = (0,3,1), v_2=(0,-1,1)$ e $v_3 = (-1, 1, 0)$ sono autovettori di $T$ e determinare i rispettivi autovalori.
2. Verificare che l'insieme $B = {v_1, v_2, v_3}$ è una base di $RR^3$.
3. Determinare la matrice (diagonale) $D$ associata a $T$ rispetto alla base $B$.
4. Determinare la matrice diagonalizzante $P$ (cioè la matrice $P$ tale che $P^(-1)AP = D)$
1) Ho calcolato le immagini dei vettori:
$T(v_1) = T(0,3,1) = (0,6,2) = 2*v_1$
$T(v_2) = T(0,-1,1) = (0,2,-2) = -2*v_2$
$T(v_3) = T(0,3,1) = (-1,1,0) = 1*v_3$
E quindi $v_1$ è un autovettore rispetto all'autovalore $\lambda = 2$; $v_2$ è un autovettore rispetto all'autovalore $\lambda = -2$ e $v_3$ è un autovettore rispetto all'autovalore $\lambda = 1$.
2) Per verificare che i tre vettori formassero una base di $RR^3$ ho verificato che la matrice associata ai tre vettori avesse determinante non nullo. Infatti $det != 0 rArr$ che la matrice ha rango massimo $rArr$ i vettori sono linearmente indipendenti. Ho quindi sviluppato con Laplace lungo la prima riga ed effettivamente il determinante è $!=0$ e quindi i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base per $RR^3$.
3) Per trovare la matrice $D$ diagonale ho semplicemente messo sulla diagonale i tre autovalori relativi ai tre autovettori che formano la base. È giusto? Se sì posso farlo "sempre" negli esercizi simili a questo?
Ad ogni modo la matrice è questa:
$D = ((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1)) $
4) Per quanto riguarda questo punto non so bene come muovermi perché io so che $P$ è la matrice che ha per colonne gli autovettori della matrice di "partenza" che nel nostro caso è:
$A = ((0,0,-1),(3,-1,1),(1,1,0)) $
Ma come faccio a trovare $P$? Metto semplicemente in colonna gli autovettori e poi mi calcolo $P^-1A$ mettendo in un'unica eliminazione di Gauss la matrice $P$ a sinistra e la matrice $A$ a destra? E quello che mi viene lo molto moltiplico per $P$? Perché io ho provato a fare così, ma non mi sembra mi venga.
Io ho ragionato così:
$D_(\beta,\beta) =(P^-1)_(\beta,\epsilon)A_(\epsilon,\epsilon)P_(\epsilon,\beta)$
La base a destra è quella in partenza e quella a sinistra quella in arrivo.
Grazie in anticipo per l'aiuto e buona giornata.
Risposte
Quella che hai scritto come A è la matrice P con gli autovettori correttamente incolonnati rispetto a come hai incolonnato D.
La matrice A invece è la matrice associata all'applicazione T.
La matrice A invece è la matrice associata all'applicazione T.
Oh hai ragione! Ed effettivamente calcolandomi $P^-1A$ con l'eliminazione di Gauss:
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\
3 & -1 & 1 & 0 & 1 & 3\\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
mi viene:
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1/2\\
0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 & -3/2\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
E facendo:
$((1/2, 1/2, 1/2),(1/2,1/2,-3/2),(-1,0,0)) * ((0, 0, -1),(3,-1,1),(1,1,0))$
Mi ritrovo proprio con la matrice diagonale $D$
$ D = ((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1)) $
Grazie mille dell'aiuto. Sai darmi qualche consiglio/suggerirmi qualche dispensa sulle matrici associate e i cambiamenti di base? Perché io quando mi trovo davanti tutti questi pedici ($ D_(\beta,\beta) =(P^-1)_(\beta,\epsilon)A_(\epsilon,\epsilon)P_(\epsilon,\beta) $) faccio sempre una grande confusione e non riesco mai a procedere con sicurezza.
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\
3 & -1 & 1 & 0 & 1 & 3\\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
mi viene:
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1/2\\
0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 & -3/2\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
E facendo:
$((1/2, 1/2, 1/2),(1/2,1/2,-3/2),(-1,0,0)) * ((0, 0, -1),(3,-1,1),(1,1,0))$
Mi ritrovo proprio con la matrice diagonale $D$
$ D = ((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1)) $
Grazie mille dell'aiuto. Sai darmi qualche consiglio/suggerirmi qualche dispensa sulle matrici associate e i cambiamenti di base? Perché io quando mi trovo davanti tutti questi pedici ($ D_(\beta,\beta) =(P^-1)_(\beta,\epsilon)A_(\epsilon,\epsilon)P_(\epsilon,\beta) $) faccio sempre una grande confusione e non riesco mai a procedere con sicurezza.
Non chiedere a me consigli sui libri 
Comunque le definizioni sono sostanzialmente le stesse ovunque.
Il mio consiglio è di ragionare sui concetti usando dei vettori generici su un foglio di carta. Successivamente puoi introdurre le componenti e magari ragionare per matrici. Ti toglieresti molti dubbi da solo e comprenderesti meglio le ragioni delle definizioni. Infine, all'atto pratico sapresti trovare strade alternative più brevi per giungere alle soluzioni dei problemi.
Comunque le definizioni sono sostanzialmente le stesse ovunque.
Il mio consiglio è di ragionare sui concetti usando dei vettori generici su un foglio di carta. Successivamente puoi introdurre le componenti e magari ragionare per matrici. Ti toglieresti molti dubbi da solo e comprenderesti meglio le ragioni delle definizioni. Infine, all'atto pratico sapresti trovare strade alternative più brevi per giungere alle soluzioni dei problemi.
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