Matrice diagonalizzabile: problemi risoluzione
Ho questa matrice:
$M= ((a,1,-2),(1,a,0),(2a-1,2-a,-4))$
Mi chiede di trovare per quali valori di $a$ risulta essere diagonalizzabile.
Io parto col polinomio caratteristico $det(M-kI)$, ossia:
$|(a-k,1,-2),(1,a-k,0),(2a-1,2-a,-4-k)|$
e ho che equivale a (salvo errori) $-k^3 -k^2(2a+4)+k(4a-a^2+2)=0$
L'ho chiaramente eguagliato a 0 per trovare gli autovalori.
A questo punto procedo così: uno zero del polinomio è sicuramente per $k=0$ come si evince facilmente dal polinomio, gli altri due zeri sono per $(-2a-4 +- sqrt(8a^2+8))/2 = 0$.
Il problema si pone qui. Non credo che l'esercizio mi richieda di calcolare $sqrt(8a^2+8)$, credo piuttosto di aver sbagliato approccio all'esercizio. Qualcuno mi sa consigliare un metodo alternativo? Oppure ho sbagliato qualcosa e non me ne sto accorgendo?
Grazie a tutti
$M= ((a,1,-2),(1,a,0),(2a-1,2-a,-4))$
Mi chiede di trovare per quali valori di $a$ risulta essere diagonalizzabile.
Io parto col polinomio caratteristico $det(M-kI)$, ossia:
$|(a-k,1,-2),(1,a-k,0),(2a-1,2-a,-4-k)|$
e ho che equivale a (salvo errori) $-k^3 -k^2(2a+4)+k(4a-a^2+2)=0$
L'ho chiaramente eguagliato a 0 per trovare gli autovalori.
A questo punto procedo così: uno zero del polinomio è sicuramente per $k=0$ come si evince facilmente dal polinomio, gli altri due zeri sono per $(-2a-4 +- sqrt(8a^2+8))/2 = 0$.
Il problema si pone qui. Non credo che l'esercizio mi richieda di calcolare $sqrt(8a^2+8)$, credo piuttosto di aver sbagliato approccio all'esercizio. Qualcuno mi sa consigliare un metodo alternativo? Oppure ho sbagliato qualcosa e non me ne sto accorgendo?
Grazie a tutti
Risposte
Temo che tu abbia sbagliato i conti.
Il polinomio caratteristico dovrebbe venire $p(k)= -k*[k^2+2(a-2)k -(-a^2+4a+3)]$
Il polinomio caratteristico dovrebbe venire $p(k)= -k*[k^2+2(a-2)k -(-a^2+4a+3)]$
Rifatto i conti, avevo sbagliato in effetti, ma il poliniomio non mi torna nemmeno come il tuo...
Mi viene $p(k) = -k^3+k^2(2a-4)+k(4a-a^2+2)$, con radici $k=0$ e $k = (4-2a +- sqrt(24))/-2$
Mi viene $p(k) = -k^3+k^2(2a-4)+k(4a-a^2+2)$, con radici $k=0$ e $k = (4-2a +- sqrt(24))/-2$
Non so cosa dirti... Credo di avere fatto bene i conti. Ho controllato con un programmino, e il risultato coincide con quanto ho scritto
Per carità, può darsi pure che ho sbagliato. Non è che sai il risultato che deve venire?
Per carità, può darsi pure che ho sbagliato. Non è che sai il risultato che deve venire?
Dovrebbe essere diagonalizzabile per a>5...
"Zerogwalur":
Dovrebbe essere diagonalizzabile per a>5...
non mi trovo molto con la soluzione.Magari qualcun altro troverà il procedimento corretto
In teoria dovrebbe essere il procedimento corretto..
Io calcolo il polinomio caratteristico della matrice (M-kI), gli zeri di tale polinomio sono gli autovalori di M. Immagino che per a>5 saranno tre valori di k distinti...
Qualcuno può aiutare? Grazie mille a tutti
Io calcolo il polinomio caratteristico della matrice (M-kI), gli zeri di tale polinomio sono gli autovalori di M. Immagino che per a>5 saranno tre valori di k distinti...
Qualcuno può aiutare? Grazie mille a tutti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo