Matrice diagonalizzabile in F
Salve a tutti!
Stavo cercando di svolgere il seguente esercizio:
Dimostrare che la matrice $((3,6),(4,0)) in F_7 ^(2x2)$ non è diagonalizzabile in $F_7$
Allora, io ho proceduto prima di tutto calcolando il polinomio caratteristico, che mi viene uguale a:
$\lambda^2 - 3\lambda - 24 = $
Gli autovalori sono dunque:
$\lambda_1 = (3 + sqrt(105))/2$ e $\lambda_2 = (3 - sqrt (105))/2$.
Siccome la molteplicita algebrica è uguale all'unità per entrambi gli autovalori, io ne ho dedotto che la matrice è diagonalizzabile, in perfetto disaccordo con la traccia del problema.
Vorrei dunque capire se il mio errore sta nel fatto che la matrice deve essere diagonalizzabile in "$F_7$".
Qualcuno sa aiutarmi? Ho a breve un esame e purtroppo questo esercizio, spesso ricorrente nelle tracce, mi è difficile da comprendere. Aspetto vostre risposte! Grazie a tutti!
Stavo cercando di svolgere il seguente esercizio:
Dimostrare che la matrice $((3,6),(4,0)) in F_7 ^(2x2)$ non è diagonalizzabile in $F_7$
Allora, io ho proceduto prima di tutto calcolando il polinomio caratteristico, che mi viene uguale a:
$\lambda^2 - 3\lambda - 24 = $
Gli autovalori sono dunque:
$\lambda_1 = (3 + sqrt(105))/2$ e $\lambda_2 = (3 - sqrt (105))/2$.
Siccome la molteplicita algebrica è uguale all'unità per entrambi gli autovalori, io ne ho dedotto che la matrice è diagonalizzabile, in perfetto disaccordo con la traccia del problema.
Vorrei dunque capire se il mio errore sta nel fatto che la matrice deve essere diagonalizzabile in "$F_7$".
Qualcuno sa aiutarmi? Ho a breve un esame e purtroppo questo esercizio, spesso ricorrente nelle tracce, mi è difficile da comprendere. Aspetto vostre risposte! Grazie a tutti!
Risposte
Cos'è $F_7$?
Non è specificato. La traccia è stata presa da un esame dell'anno scorso di cui ho riportato la traccia completa. Non fa riferimento ad alcun testo specifico. Il professore anche quest'anno ha dato un esercizio molto simile a questo definendo un campo $K$ che non era definito. La traccia dell'esercizio in questione è presente nel post "Esercizio su matrice diagonalizzabile". Sto impazzendo perché non riesco a svolgere questo tipo di esercizi in alcun modo...
Scusa, ho corretto il titolo, si tratta di $F_7 ^(2x2)$...pensavo di averlo scritto correttamente. Nonostante questo, non so svolgere comunque il problema...
$F_7$ dovrebbe essere l'insieme delle matrici $2x2$, ma il 7 cosa dovrebbe significare?
$F_7$ dovrebbe essere l'insieme delle matrici $2x2$, ma il 7 cosa dovrebbe significare?
Mi sembra naturale che tu non riesca a svolgerlo, visto che non sai in che campo lavori! 
Ma il fatto che mi dia un campo, significa che gli autovalori devono appartenere al campo giusto?
Interessa anche a me la risoluzione di questo esercizio..spero che qualcuno possa rispondere:)
"Lory_91":
Interessa anche a me la risoluzione di questo esercizio..spero che qualcuno possa rispondere:)
Allora ti conviene provare a chiarire l'ambiguità che ho indicato.
Se ci fossi riuscita, lo avrei già detto.
Il problema consiste proprio nel fatto che non riesco a chiarire tale ambiguità. So come si dovrebbe verificare se una matrice è diagonalizzabile in un determinato campo. Il problema è che non riesco ad identificare il campo definito nell'esercizio. Si dovrebbe trattare dell'insieme delle matrici $2x2$, ma cosa significa il pedice "7"?
Penso che, il fatto che dia un campo, significa che gli autovalori debbano prima di tutto appartenere al campo. Riesco a svolgere esercizi in cui definisce il campo $RR$ o $CC$ ma qui ho proprio difficoltà a comprendere a quale campo si sta riferendo.
Penso che, il fatto che dia un campo, significa che gli autovalori debbano prima di tutto appartenere al campo. Riesco a svolgere esercizi in cui definisce il campo $RR$ o $CC$ ma qui ho proprio difficoltà a comprendere a quale campo si sta riferendo.
Probabilmente si riferisce al campo \(\displaystyle \mathbb{Z}_7 \) degli interi modulo 7...in tal caso è ovvio che gli autovalori non appartengono al campo!
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