Matrice diagonalizzabile e diagonalizzante
Salve e buongiorno a tutti, mi aiutereste a capire meglio questo tipo di esercizi?
Data la matrice $S=( ( 3 , -2 , 6 ),( 1 , 0 , 6 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $. Determinare se la matrice è diagonalizzabile e in caso affermativo determinare la matrice diagonalizzante. Allora, una matrice è diagonalizzabile se la somma delle molteplicità algebriche coincide con l'ordine della matrice S e se per ogni autovalore, molteplicità algebrica e geometrica sono uguali.
Inizio calcolandomi gli autovalori di S, tramite il polinomio caratteristico $ P=|S-aI_3|=|( ( 3-a , -2 , 6 ),( 1 , -a , 6 ),( 0 , 0 , 2-a ) )|=(2-a)(a^2-3a+2) $. Gli autovalori sono soluzioni del polinomio e quindi a=2 e a=1. La molteplicità algebrica per a=2 è 2 mentre per a=1 è 1. Quindi per a=1 anche la molteplicità geometrica è 1. Ora, mi calcolo l'autospazio relativo ad a=2 per calcolarmi la molteplicità geometrica, se risulta essere 2, allora la matrice è diagonalizzabile, perchè la somma delle molteplicità algeriche è 3, quindi un punto del criterio di diagonalizzabilità è verificato. Sostituendo nella matrice a=2 e andando a calcolare il prodotto tra questa matrice e la matrice colonna $ ( ( x , y , z ) ) $ e quindi si deve svolgere il sistema omogeneo: $x-2y-6z=0$. Gli autospazi sono $X={(2y-6x,y,z)|y,zinRR}$ La dimensione è 2 e quindi anche la molteplicità geometrica per a=2 è uguale a quella algebrica, dunque la matrice è diagonalizzabile. Adesso, però non so calcolare la matrice diagonalizzabile. Come procedo?
Data la matrice $S=( ( 3 , -2 , 6 ),( 1 , 0 , 6 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $. Determinare se la matrice è diagonalizzabile e in caso affermativo determinare la matrice diagonalizzante. Allora, una matrice è diagonalizzabile se la somma delle molteplicità algebriche coincide con l'ordine della matrice S e se per ogni autovalore, molteplicità algebrica e geometrica sono uguali.
Inizio calcolandomi gli autovalori di S, tramite il polinomio caratteristico $ P=|S-aI_3|=|( ( 3-a , -2 , 6 ),( 1 , -a , 6 ),( 0 , 0 , 2-a ) )|=(2-a)(a^2-3a+2) $. Gli autovalori sono soluzioni del polinomio e quindi a=2 e a=1. La molteplicità algebrica per a=2 è 2 mentre per a=1 è 1. Quindi per a=1 anche la molteplicità geometrica è 1. Ora, mi calcolo l'autospazio relativo ad a=2 per calcolarmi la molteplicità geometrica, se risulta essere 2, allora la matrice è diagonalizzabile, perchè la somma delle molteplicità algeriche è 3, quindi un punto del criterio di diagonalizzabilità è verificato. Sostituendo nella matrice a=2 e andando a calcolare il prodotto tra questa matrice e la matrice colonna $ ( ( x , y , z ) ) $ e quindi si deve svolgere il sistema omogeneo: $x-2y-6z=0$. Gli autospazi sono $X={(2y-6x,y,z)|y,zinRR}$ La dimensione è 2 e quindi anche la molteplicità geometrica per a=2 è uguale a quella algebrica, dunque la matrice è diagonalizzabile. Adesso, però non so calcolare la matrice diagonalizzabile. Come procedo?
Risposte
Immagino tu intenda la matrice diagonale.
Il procedimento va bene. Ora trova i 2 generatori ($v_1, v_2$) dell'autospazio relativo a $2$ e poi il generatore $v_3$ dell'autospazio relativo ad $1$. Con essi crei una base di $\mathbb{R}^3$. La matrice rispetto a questa base sia in dominio che codominio, ti darà la matrice diagonale.
Paola
Il procedimento va bene. Ora trova i 2 generatori ($v_1, v_2$) dell'autospazio relativo a $2$ e poi il generatore $v_3$ dell'autospazio relativo ad $1$. Con essi crei una base di $\mathbb{R}^3$. La matrice rispetto a questa base sia in dominio che codominio, ti darà la matrice diagonale.
Paola
No, mi chiede proprio la matrice diagonalizzante. Dice in caso affermativo, scrivere una matrice diagonalizzante per S.
Se ti chiede la matrice invertibile con cui passi da $S$ alla corrispondente matrice diagonale, si tratta solo di prendere quella di passaggio di base tra la base di autovettori da me descritta sopra e quella canonica (che immagino sia quella relativa ad $S$ visto che non è specificato dal testo).
Paola
Paola
Grazie 
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