Matrice diagonalizzabile con parametro e quadrica!

[Olindo_Rossi]

Ciao, non riesco a svolgere questi esercizi, potreste darmi una mano?
k reale,

A= $((-1, 2k+1, 1), (0, k, 0), (-k-1, 2k+1, k+1))$

stabilire per quali valori la matrice è diagonalizzabile e trovare una base di autovettori.



Data la quadrica Qk: $k*x^2+2xy+2z =0$
classifica al variare di k la quadrica.
trova, se esistono, i valori di k per cui il punto P = (-1,0,-1) appartiene alla quadrica, e per tali valori scrivi l'equazione del piano tangente alla quadrica nel punto P.
poni k =3 e verifica che la retta r di equazione $ \ {(y+z=-9), (2y-z=9) :} $
interseca la quadrica Q3 in due punti A e B. infine trova la distanza tra i due punti.

GRAZIE MILLEEE!!

[Sk_Anonymous]

Gli autovalori di A sono :
$lambda_1=0,lambda_2=lambda_3=k$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$v_{lambda_1}=(1,0,1)^T,v_{lambda_2}=(1,0,1+k)^T,v_{lambda_3}=(0,1,-1-2k)^T$
Come puoi verificare, $v_{lambda_1}$ e $v_{lambda_2}$ sono certamente diversi da $v_{lambda_3}$ , mentre
risulta :
A) $v_{lambda_1}=v_{lambda_2}$ per $k=0$
B) $v_{lambda_1} \ne v_{lambda_2}$ per $k \ne 0$
Nel caso (A) $[k=0]$ vi sono solo due autovettori indipendenti $v_{lambda_1},v_{lambda_3}$ e quindi la matrice A NON è DIAGONALIZZABILE
Nel caso (B) $[k \ne 0]$ invece vi sono tre autovettori indipendenti $v_{lambda_1},v_{lambda_2},v_{lambda_3}$ e quindi la matrice A è DIAGONALIZZABILE
Quanto al secondo esercizio sulla quadrica, si tratta di applicare regole note e quindi ti consiglierei di tentare come prima cosa un tuo approccio ( magari riguardando meglio le regole in questione). E se proprio non ci riesci, noi siamo
sempre qui