Matrice diagonalizzabile con parametro complesso
Ciao a tutti! Ho questo esercizio in cui non riesco a trovare gli autovalori.
SI trovi per quali valori del parametro complesso k la matrice
$A_k$= $((k,1,2),(1,k,k),(0,0,1))$
è tale che l'endomorfismo associato $L_Ak$: $CC^3$ $rarr$ $CC^3$ sia diagonalizzabile e per tali valori del parametro si esibiscano una base di autovettori e una matrice che diagonalizza $A_k$ .
La matrice è diagonalizzabile se gli autovettori relativi a ciascun autovalore sono linearmente indipendenti e se la molteplicità algebrica dell'autovalore è uguale a quella geometrica.
Grazie!
SI trovi per quali valori del parametro complesso k la matrice
$A_k$= $((k,1,2),(1,k,k),(0,0,1))$
è tale che l'endomorfismo associato $L_Ak$: $CC^3$ $rarr$ $CC^3$ sia diagonalizzabile e per tali valori del parametro si esibiscano una base di autovettori e una matrice che diagonalizza $A_k$ .
La matrice è diagonalizzabile se gli autovettori relativi a ciascun autovalore sono linearmente indipendenti e se la molteplicità algebrica dell'autovalore è uguale a quella geometrica.
Grazie!
Risposte
calcola gli autovalori come sempre. a me il polinomio caratteristico risulta $(1-lambda)(lambda-(k+1))(lambda-(k-1))=0, k in CC$
adesso studi i casi in cui gli autovalori non sono tutti differenti (nel qual caso è sempre diagonalizzabile e ti basta calcolare gli autovettori) e alcuni autovalori hanno molteplicità algebrica superiore ad 1. per quali k avviene questo?
adesso studi i casi in cui gli autovalori non sono tutti differenti (nel qual caso è sempre diagonalizzabile e ti basta calcolare gli autovettori) e alcuni autovalori hanno molteplicità algebrica superiore ad 1. per quali k avviene questo?
Grazie 
quindi ottengo tre autovalori, che se non sbaglio sono $\lambda$=1, $\lambda$= k+1 e $\lambda$=k-1. Adesso analizzo i tre casi, sostituendo ogni volta un valore di $\lambda$ e così ricavo gli autovettori
quindi ottengo tre autovalori, che se non sbaglio sono $\lambda$=1, $\lambda$= k+1 e $\lambda$=k-1. Adesso analizzo i tre casi, sostituendo ogni volta un valore di $\lambda$ e così ricavo gli autovettori
devi prima capire cosa fa il k. per due particolari casi infatti le cose sono un po' diverse. pensa per esempio a $k=1$. cosa succede se il parametro assumesse questo valore?
qual è l'altro k rilevante?
qual è l'altro k rilevante?
Per k=1, ho tre autovalori distinti, $ \lambda $=1, $ \lambda $=2 e $ \lambda $=0
Per k=-1 ho $ \lambda $=1, $ \lambda $=-2 e $ \lambda $=0
Per k=-1 ho $ \lambda $=1, $ \lambda $=-2 e $ \lambda $=0
ovviamente hai ragione ma sono io fesso 
volevo chiedere cosa succede con $k=0$.
con tale valore hai solo gli autovalori 1 e -1, il +1 con molteplicità 2 che quindi dobbiamo accertarci sia uguale a quella geometrica. l'altro valore è $k=2$ per il quale succede la stessa cosa di prima.
volevo chiedere cosa succede con $k=0$.con tale valore hai solo gli autovalori 1 e -1, il +1 con molteplicità 2 che quindi dobbiamo accertarci sia uguale a quella geometrica. l'altro valore è $k=2$ per il quale succede la stessa cosa di prima.
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