Matrice diagonalizzabile con parametro

[maxpix]

Buongiorno a tutti ho svolto un esercizio ma non sono sicuro dei risultati ottenuti.
L'esercizio è il seguente:

Determinare per quali valori reali di k la matrice A =( ( 3 , 0 , -7 ),( k , 3 , 4 ),( 0 , 0 , 2 ) )

è diagonalizzabile.

Ho calcolato prima di tutti il polinomio caratteristico che però non presenta il parametro k.
Il polinomio è $P(lambda) = (3-lambda)^2(2-lambda)$ e quindi gli autovalori sono $lambda = 3, alg(3) = 2$ e $lambda=2, alg(2)=1$.

Arrivato a questo punto ho calcolato la molteplicità algebrica per entrambi gli autovalori e ho ottenuto che, $g(3)=2$ se $k = 0, 1$ altrimenti e $g(2)=1$ se $k!=-4/7, 2$ altrimenti.
Quindi per far si che le $alg(3)=g(3)=2, k$ deve essere $=0$ e per avere $alg(2)=g(2)=1, k$ deve essere $!=-4/7$. Non sono convinto al 100% di questa soluzione però

Grazie

[Magma1]

"maxpix":Determinare per quali valori reali di $k in RR$ la matrice $A$ è diagonalizzabile

$A =( ( 3 , 0 , -7 ),( k , 3 , 4 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $

Gli autovalori sono:

$lambda = 3, qquad \text{con } Alg(3) = 2$

$lambda=2, qquad \text{con }Alg(2)=1$.

Arrivato a questo punto ho calcolato la molteplicità algebrica per entrambi gli autovalori e ho ottenuto che

$g(3)={ ( 2, if k=0 ),( 1, if kne0 ):}$

$g(2)=1, if k ne-4/7$

Dato che

$1<=g(lambda)<=Alg(lambda)$

l'autovalore $lambda=2$ non può avere molteplicità geometrica maggiori di $1$.

"maxpix":
Quindi per far si che le $ Alg(3)=g(3)=2$, si deve avere $k =0 $ e per avere $ alg(2)=g(2)=1$, si deve avere $kne-4/7 $

Hai due condizioni e devono valere entrambe. Quindi $k$ che valore può assumere?

[Bokonon]

Quindi, come hai già risolto, abbiamo tre soluzioni del pol. caratt. di cui due coincidenti e ci servono tre autovettori per formare una base (e quindi diagonalizzare la matrice). Quindi abbiamo solo le due matrici:
$ lambda_1=lambda_2= 3 rArr A=( ( 0 , 0 , -7 ),( k , 0 , 4 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
$ lambda_3=2 rArr B=( ( 1 , 0 , -7 ),( k , 1 , 4 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
e abbiamo solo tre possibilità:
a) ricavare due autovettori dalla A e un autovettore dalla B
b) ricavare due autovettori dalla B e un autovettore dalla A
c) non si ricavano mai più di 1 autovettore per matrice e quindi non è diagonalizzabile

Valutiamo prima l'ipotesi b). La matrice B ha SEMPRE rango due indipendentemente da k. Si vede ad occhio ma volendo possiamo fare un passaggio e ottenere $( ( 1 , 0 , -7 ),( 0 , 1 , 4+7k ),( 0 , 0 , 0 ) ) $. Ci sono due pivot diversi da zero, quindi la terza colonna è SEMPRE combinazione lineare delle prime due indipendentemente dal valore assunto da k. Questo ci dice che dalla B possiamo sempre ricavare solo un autovettore.
Allora passiamo all'ipotesi a). La matrice A ha due pivot (k e -1) quindi se k è diverso da zero si ricava sempre solo un autovettore. Se k=0 allora il rango di A è pari a 1 e possiamo ricavare due autovettori e diagonalizzare la matrice.

Riassumendo per $ k!= 0 $ la matrice non è mai diagonalizzabile

[maxpix]

quindi la matrice di partenza è diagonalizzabile solo per k=0?

[Bokonon]

"maxpix":quindi la matrice di partenza è diagonalizzabile solo per k=0?

Esatto

[maxpix]

ok ok grazie mille

[Magma1]

"Bokonon": $ lambda_1=lambda_2= 3 rArr A=( ( 0 , 0 , -7 ),( k , 0 , 4 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
$ lambda_3=2 rArr B=( ( 1 , 0 , -7 ),( k , 1 , 4 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
e abbiamo solo tre possibilità:
a) ricavare due autovettori dalla A e un autovettore dalla B
b) ricavare due autovettori dalla B e un autovettore dalla A
c) non si ricavano mai più di 1 autovettore per matrice e quindi non è diagonalizzabile

Valutiamo prima l'ipotesi b). La matrice B ha SEMPRE rango due indipendentemente da k. Si vede ad occhio ma volendo possiamo fare un passaggio e ottenere $ ( ( 1 , 0 , -7 ),( 0 , 1 , 4+7k ),( 0 , 0 , 0 ) ) $. Ci sono due pivot diversi da zero, quindi la terza colonna è SEMPRE combinazione lineare delle prime due indipendentemente dal valore assunto da k. Questo ci dice che dalla B possiamo sempre ricavare solo un autovettore.
Allora passiamo all'ipotesi a). La matrice A ha due pivot (k e -1) quindi se k è diverso da zero si ricava sempre solo un autovettore. Se k=0 allora il rango di A è pari a 1 e possiamo ricavare due autovettori e diagonalizzare la matrice.

Senza offesa, ma vorrei farti notare che su $5$ righe ne hai impiegate $3$ per valutare una "possibilità" che sappiamo a priori che non si verificherà mai; ovvero le possibilità non sono tre bensì due: la a) e la c).

[Bokonon]

"Magma":
Senza offesa, ma vorrei farti notare che su $5$ righe ne hai impiegate $3$ per valutare una "possibilità" che sappiamo a priori che non si verificherà mai; ovvero le possibilità non sono tre bensì due: la a) e la c).

A domanda, risposta.
Perchè l'avevi già scritto tu ma ho ritenuto opportuno farlo vedere nel concreto dato che aveva scritto una cosa impossibile:

"maxpix":$g(2)=1$ se $k!=-4/7, 2$ altrimenti.

Meglio spendere due righe in più che in meno per spiegare le cose chiaramente, specie quando un punto rappresenta un problema. No?

[Magma1]

Abbiamo un approccio completamente agli antipodi alla materia.

Peace and love!