Matrice diagonalizzabile, autovalori, autospazi e autovettori
Buonasera, purtroppo mi ritrovo nuovamente nelle condizioni di chiedere aiuto. Spero vivamente che il mio approccio sia corretto e che non "infastidisca" nessuno.
Dopo lo studio degli spazi vettoriali, sono riuscito facilmente a comprendere come risolvere i sistemi lineari parametrici. Da due giorni invece ho iniziato le applicazioni lineari (oggi ho letto pure la piccola dispensa fornita dal forum), ma mi rendo conto di avere parecchi dubbi.
Questo è un esercizio tipo (uno dei meno complessi, ma meglio iniziare dalle cose semplici
).
$ A = ( ( 1 , 2 , -1 , n ),( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , n , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
a) Per quali valori di n la matrice A è diagonalizzabile
b)Per i valori di n trovati, determinare una base di $R^4$ formata da autovettori della matrice A
c)Calcolare, se possibile, la matrice inversa per n=1
SVOLGIMENTO
a)
Il punto a l'ho svolto e spero in modo corretto:
Per prima cosa devo determinare gli autovalori che saranno le radici del polinomio caratteristico. Quindi:
$ At=A-tI=( ( 1-t , 2 , -1 , n ),( 0 , -1-t , 1 , -1 ),( 0 , 0 , n-t , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1-t ) ) $
$det(At)= (1-t)^2 (-1-t) (n-t) $ $rarr$ ricavo le radici:
$ t1=1 rarr ma(1)=2 $
$ t2=-1 rarr ma(2)=1 $
$ t3=n rarr ma(3)=1 $ per n diverso da +1 e -1
Devo studiare alcuni casi prima di giungere a conclusioni. La matrice è diagonalizzabile se e soltanto se la molteplicità geometrica è uguale alla molteplicità algebrica (mg=ma)
CASO 1: $ n=t1=1 $ $ rArr $ $ma=3$
$ A'=( ( 0 , 2 , -1 , 1 ),( 0 , -2 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
è evidente $ rk(A')= 1 rArr mg=dimA-rk(A')=3 rArr mg=ma $
CASO 2: $n=t2=-1 rArr ma=2 $
$ A''=( ( 2 , 2 , -1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
$ rk(A'')=3 rArr mg=4-3=1 rArr mg != ma $
CONCLUSIONE: La matrice è diagonalizzabile: $per$ $ogni$ $n in R \\ {-1}$
b)
Ecco qua sinceramente non ho idea sul come procedere. In realtà non ho proprio ben capito la domanda.
L' autospazio per i vari valori di t:
$ (A-tI)x=0 $ dove x vettore, 0 vettore, t parametro
Ma mi fermo qua, se è possibile avere i passaggi illustrati con tanto di spiegazione mi aiuterebbe molto. Mi confonde la domanda, non so quale matrice prendere se quella con le t e le n o solo quella con le n. Poi una volta ottenuto il sistema lineare ottengo i valori delle x ma ho troppi dubbi a riguardo, non mi sento sicuro.
c)
Sostituendo in A, n=1 ho una matrice invertibile poichè il determinante è diverso da 0 dunque ho il rank massimo. Non voglio annoiare nessuno con i passaggi lunghi e noiosi ma semplici.
Ringrazio sempre per la vostra disponibilità nell'aiutare.
Dopo lo studio degli spazi vettoriali, sono riuscito facilmente a comprendere come risolvere i sistemi lineari parametrici. Da due giorni invece ho iniziato le applicazioni lineari (oggi ho letto pure la piccola dispensa fornita dal forum), ma mi rendo conto di avere parecchi dubbi.
Questo è un esercizio tipo (uno dei meno complessi, ma meglio iniziare dalle cose semplici
).$ A = ( ( 1 , 2 , -1 , n ),( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , n , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
a) Per quali valori di n la matrice A è diagonalizzabile
b)Per i valori di n trovati, determinare una base di $R^4$ formata da autovettori della matrice A
c)Calcolare, se possibile, la matrice inversa per n=1
SVOLGIMENTO
a)
Il punto a l'ho svolto e spero in modo corretto:
Per prima cosa devo determinare gli autovalori che saranno le radici del polinomio caratteristico. Quindi:
$ At=A-tI=( ( 1-t , 2 , -1 , n ),( 0 , -1-t , 1 , -1 ),( 0 , 0 , n-t , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1-t ) ) $
$det(At)= (1-t)^2 (-1-t) (n-t) $ $rarr$ ricavo le radici:
$ t1=1 rarr ma(1)=2 $
$ t2=-1 rarr ma(2)=1 $
$ t3=n rarr ma(3)=1 $ per n diverso da +1 e -1
Devo studiare alcuni casi prima di giungere a conclusioni. La matrice è diagonalizzabile se e soltanto se la molteplicità geometrica è uguale alla molteplicità algebrica (mg=ma)
CASO 1: $ n=t1=1 $ $ rArr $ $ma=3$
$ A'=( ( 0 , 2 , -1 , 1 ),( 0 , -2 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
è evidente $ rk(A')= 1 rArr mg=dimA-rk(A')=3 rArr mg=ma $
CASO 2: $n=t2=-1 rArr ma=2 $
$ A''=( ( 2 , 2 , -1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
$ rk(A'')=3 rArr mg=4-3=1 rArr mg != ma $
CONCLUSIONE: La matrice è diagonalizzabile: $per$ $ogni$ $n in R \\ {-1}$
b)
Ecco qua sinceramente non ho idea sul come procedere. In realtà non ho proprio ben capito la domanda.
L' autospazio per i vari valori di t:
$ (A-tI)x=0 $ dove x vettore, 0 vettore, t parametro
Ma mi fermo qua, se è possibile avere i passaggi illustrati con tanto di spiegazione mi aiuterebbe molto. Mi confonde la domanda, non so quale matrice prendere se quella con le t e le n o solo quella con le n. Poi una volta ottenuto il sistema lineare ottengo i valori delle x ma ho troppi dubbi a riguardo, non mi sento sicuro.
c)
Sostituendo in A, n=1 ho una matrice invertibile poichè il determinante è diverso da 0 dunque ho il rank massimo. Non voglio annoiare nessuno con i passaggi lunghi e noiosi ma semplici.
Ringrazio sempre per la vostra disponibilità nell'aiutare.
Risposte
"Anasclero":
CONCLUSIONE: La matrice è diagonalizzabile: $per$ $ogni$ $n in R \\ {-1}$
Sicuro?
Per n diverso da $+-1$ e per $lambda=1$ la m.a.=2 e m.g.=1
A meno che non abbia calcolato male (a mente) la matrice è diagonalizzabile solo se n=1.
Assolutamente mi sono dimenticato studiare questo caso. Solitamente ho soluzioni per lambda con ma=1 e quindi di per se la matrice è diagonalizzabile perché sono tutte distinte. In questo caso ciò non accade e quindi non posso limitarmi allo studio del parametro che uguaglia le radici.
Per il secondo punto hai qualche dritta?
Per il secondo punto hai qualche dritta?
Risolvi i due sistemi omogenei $A-tI=0$ con $n=1$ e per $t=1$ e $t=-1$
In pratica devi trovare una base del kernel.
Troverai tre autovettori che generano l'autospazio collegato all'autovalore $t=1$ e un autovettore collegato a $t=-1$
Magari non ci hai fatto caso ma essendo tutti gli autovalori 1 e -1, si tratta di una riflessione.
In particolare è una riflessione di tutti i vettori di $RR^4$ rispetto al sottospazio tridimensionale che è generato da una base qualsiasi di autovettori collegati a $t=1$ e lungo la direzione (non perpendicolare) di un autovettore collegato a $t=-1$
Se invece fosse stata una proiezione (sempre non ortogonale), l'autovalore sarebbe $t=-1$ sarebbe stato zero.
Il collegamento fra riflessione e proiezione è che $R=2P-I$ ovvero la matrice di riflessione R è uguale a due volte la matrice di proiezione meno la matrice identità.
Quindi se faccio $R*R=(2P-I)(2P-I)=4P^2-4P+I=I$ perchè $P^2=P$
Quindi l'inversa della matrice di riflessione è la matrice stessa...non occorreva nemmeno faticare per invertirla
Infine, quando hai una matrice triangolare (superiore o inferiore) i suoi autovalori stanno belli alla luce del sole sulla diagonale...ergo, non c'era nemmeno bisogno di calcolarli.
In pratica devi trovare una base del kernel.
Troverai tre autovettori che generano l'autospazio collegato all'autovalore $t=1$ e un autovettore collegato a $t=-1$
Magari non ci hai fatto caso ma essendo tutti gli autovalori 1 e -1, si tratta di una riflessione.
In particolare è una riflessione di tutti i vettori di $RR^4$ rispetto al sottospazio tridimensionale che è generato da una base qualsiasi di autovettori collegati a $t=1$ e lungo la direzione (non perpendicolare) di un autovettore collegato a $t=-1$
Se invece fosse stata una proiezione (sempre non ortogonale), l'autovalore sarebbe $t=-1$ sarebbe stato zero.
Il collegamento fra riflessione e proiezione è che $R=2P-I$ ovvero la matrice di riflessione R è uguale a due volte la matrice di proiezione meno la matrice identità.
Quindi se faccio $R*R=(2P-I)(2P-I)=4P^2-4P+I=I$ perchè $P^2=P$
Quindi l'inversa della matrice di riflessione è la matrice stessa...non occorreva nemmeno faticare per invertirla
Infine, quando hai una matrice triangolare (superiore o inferiore) i suoi autovalori stanno belli alla luce del sole sulla diagonale...ergo, non c'era nemmeno bisogno di calcolarli.
Grazie veramente! Mi sono messo subito all'opera e penso di avere risolto il punto b:
Devo trovare una base del kernel risolvendo i seguenti sistemi omogenei:
1°SISTEMA: $n=1$ $lambda =1$
$(A-I)x=0 rArr 2x2-x3+x4=0 $
$rk(A-I)=1 $ ovvero avremo un solo vettore lin. ind.
Trattandosi di un sistema omogeneo è certamente compatibile per il th. di Rouché-Capelli. Inoltre avendo n=4 incognite e rk=1 avremo (infinito)^3 soluzioni indeterminate.
Quindi devo fissare 3 parametri liberi $ rArr x1, x3, x4 $
Ricavo:
$ x2= (x3-x4)/2 $
Allora:
$(x1,x2,x3,x4)=(x1, (x3-x4)/2, x3, x4) $
Scrivendo la soluzione sotto forma di combinazione lineare ottengo 3 autovettori che costituiscono la base:
$B lambda 1= {(1,0,0,0),(0,1/2,1,0),(0,-1/2,0,1)} $
2° SISTEMA: $n=1$ $lambda=-1$
$(A+I)x=0 rArr rk=3 rArr $ indeterminato con (infinito)^1 soluzione.
$ { ( 2x1+2x2-x3+x4=0 ),( x3=x4 ),( 2x4=0 ):} $
$(x1,x2,x3,x4)=(x1,-x1,0,0)=x1*(1,-1,0,0)$
$B( lambda 2)= {(1, -1,0,0)}$
Unico dubbio a questo punto la soluzione è l'unione delle due basi corretto?
Devo trovare una base del kernel risolvendo i seguenti sistemi omogenei:
1°SISTEMA: $n=1$ $lambda =1$
$(A-I)x=0 rArr 2x2-x3+x4=0 $
$rk(A-I)=1 $ ovvero avremo un solo vettore lin. ind.
Trattandosi di un sistema omogeneo è certamente compatibile per il th. di Rouché-Capelli. Inoltre avendo n=4 incognite e rk=1 avremo (infinito)^3 soluzioni indeterminate.
Quindi devo fissare 3 parametri liberi $ rArr x1, x3, x4 $
Ricavo:
$ x2= (x3-x4)/2 $
Allora:
$(x1,x2,x3,x4)=(x1, (x3-x4)/2, x3, x4) $
Scrivendo la soluzione sotto forma di combinazione lineare ottengo 3 autovettori che costituiscono la base:
$B lambda 1= {(1,0,0,0),(0,1/2,1,0),(0,-1/2,0,1)} $
2° SISTEMA: $n=1$ $lambda=-1$
$(A+I)x=0 rArr rk=3 rArr $ indeterminato con (infinito)^1 soluzione.
$ { ( 2x1+2x2-x3+x4=0 ),( x3=x4 ),( 2x4=0 ):} $
$(x1,x2,x3,x4)=(x1,-x1,0,0)=x1*(1,-1,0,0)$
$B( lambda 2)= {(1, -1,0,0)}$
Unico dubbio a questo punto la soluzione è l'unione delle due basi corretto?
La base formata da autovettori è l'unione dei due kernel, esatto.
Vedo che lasci le frazioni...consiglio, moltiplica quei vettori per 2...e sono ancora autovettori.
Il vantaggio di avere numeri interi, quando possibile, è quello di semplificare ulteriori conti (se richiesti).
Vedo che lasci le frazioni...consiglio, moltiplica quei vettori per 2...e sono ancora autovettori.
Il vantaggio di avere numeri interi, quando possibile, è quello di semplificare ulteriori conti (se richiesti).
Grazie ancora e farò tesoro dei tuoi consigli. Ben presto avrò certamente alcuni dubbi su coniche e quadriche iperboliche. Intanto approfondisco le applicazioni lineari anche se il tempo stringe 
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