Matrice diagonalizzabile al variare di un parametro
Salve.
Avrei un pò di dubbi sul ragionamento di questo esercizio.
La matrice è questa:
$A = ((1,a/7,0),(-1,1,0),(0,0,1/7))$
devo dire per quale valore di $a$ è diagonalizzabile. Calcolo il determinante e faccio le mie considerazioni.
se è singolare accade che:
$1+a/7 = 0$ cioè $a= -7$
ora pongo $a=-7$:
$A = ((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1/7))$
dal polinomio caratteristico, gli autovalori sono
$\lambda = 1/7$
$\lambda = 0$
$\lambda = 2$
sono 3 autovalori distinti.
$\lambda = 1/7$ :
$(x,(1-1/7)x,z)$
qui la molteplicità geometrica è 2
tuttavia se metto: $x=0$ e $z=1$ viene:
$\lambda = 0$ autovettore associato: $(1,1,0)$
$\lambda = 2$ -> autovettore associato: $(-1,1,0)$
quindi con $a=-7$ non è diagonalizzabile.
come lo trovo $a$ affinchè sia diagonalizzabile?
Avrei un pò di dubbi sul ragionamento di questo esercizio.
La matrice è questa:
$A = ((1,a/7,0),(-1,1,0),(0,0,1/7))$
devo dire per quale valore di $a$ è diagonalizzabile. Calcolo il determinante e faccio le mie considerazioni.
se è singolare accade che:
$1+a/7 = 0$ cioè $a= -7$
ora pongo $a=-7$:
$A = ((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1/7))$
dal polinomio caratteristico, gli autovalori sono
$\lambda = 1/7$
$\lambda = 0$
$\lambda = 2$
sono 3 autovalori distinti.
$\lambda = 1/7$ :
$(x,(1-1/7)x,z)$
qui la molteplicità geometrica è 2
tuttavia se metto: $x=0$ e $z=1$ viene:
$\lambda = 0$ autovettore associato: $(1,1,0)$
$\lambda = 2$ -> autovettore associato: $(-1,1,0)$
quindi con $a=-7$ non è diagonalizzabile.
come lo trovo $a$ affinchè sia diagonalizzabile?
Risposte
quindi hai \( \mathfrak{f} \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\)??
Saluti
Ma nello scrivere la matrice hai scritto \(\displaystyle \frac{a}{2} \) al posto di \(\displaystyle \frac{a}{7} \)?
"vict85":
Ma nello scrivere la matrice hai scritto \(\displaystyle \frac{a}{2} \) al posto di \(\displaystyle \frac{a}{7} \)?
rimetto subito a posto sì è $a/7$ !
@garnak.olegovitc
Si, è un endomorfismo di $RR^3$
correggo anche quello.
Riguardo al tuo problema, una matrice diagonale può anche essere singolari quindi se ci sono 3 autovalori distinti allora la matrice è banalmente diagonalizzabile.
Comunque è evidente che la matrice è diagonalizzabile se lo è \(\displaystyle B = \begin{pmatrix}1 & a/7 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \) (un autovettore è il vettore \((0,0,1)^t\) ).
Quindi \(\displaystyle \det(B - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + \frac{a}{7} = \lambda^2 -2\lambda + \frac{7 + a}{7} \). Perciò
\(\displaystyle \lambda_{1,2} = -1\pm \sqrt{ 1 - \frac{7 + a}{7}} = -1\pm \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{7}} \)
Quindi è diagonalizzabile per \(\displaystyle a<0 \), non lo è per \(\displaystyle a>0 \) e per \(\displaystyle a = 0 \) devi farti i calcoli sulla molteplicità geometrica anche se a occhio direi che non lo è.
Comunque è evidente che la matrice è diagonalizzabile se lo è \(\displaystyle B = \begin{pmatrix}1 & a/7 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \) (un autovettore è il vettore \((0,0,1)^t\) ).
Quindi \(\displaystyle \det(B - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + \frac{a}{7} = \lambda^2 -2\lambda + \frac{7 + a}{7} \). Perciò
\(\displaystyle \lambda_{1,2} = -1\pm \sqrt{ 1 - \frac{7 + a}{7}} = -1\pm \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{7}} \)
Quindi è diagonalizzabile per \(\displaystyle a<0 \), non lo è per \(\displaystyle a>0 \) e per \(\displaystyle a = 0 \) devi farti i calcoli sulla molteplicità geometrica anche se a occhio direi che non lo è.
Sì, avevo anche calcolato le radici del polinomio caratteristico (completo):
$((1-\lambda, a/7,0),(-1,1-\lambda,0),(0,0,1/7 - \lambda))$
ottenendo:
$(1-\lambda)^2 (1/7 - \lambda) + a/7 (1/7 -\lambda) =0$
$ (1/7 -\lambda) ((1- \lambda^2) + a/7) = 0$
$((1- \lambda^2) + a/7) = 0$
da cui:
$\lambda = 1/7$
e
$\lambda^2 - 2 \lambda + a/7 + 1 =0$
le cui soluzioni di quest ultima sono:
$\lambda_(1,2) = ( 2 +(-) sqrt(-a/7) )/2 $
quindi:
per $a=0$
gli autovalori sono:
$\lambda = 1/7$ il cui autovettore associato è $(0,0,1)$
$\lambda_1 = \lambda_2= 1$ autovettore associato è del tipo $(0,y,0)$
quindi la molteplicità geometrica è 1 (non 2 come dovrebbe essere...)
tuttavia posso fare: $y=1$ e $y=0$ (che non è multiplo di 1) i cui autovettori sono:
$(0,1,0)$ e $(0,0,0)$
(quindi nemmeno in questo caso sarebbe diagonalizzabile...)
che ne pensi?
$((1-\lambda, a/7,0),(-1,1-\lambda,0),(0,0,1/7 - \lambda))$
ottenendo:
$(1-\lambda)^2 (1/7 - \lambda) + a/7 (1/7 -\lambda) =0$
$ (1/7 -\lambda) ((1- \lambda^2) + a/7) = 0$
$((1- \lambda^2) + a/7) = 0$
da cui:
$\lambda = 1/7$
e
$\lambda^2 - 2 \lambda + a/7 + 1 =0$
le cui soluzioni di quest ultima sono:
$\lambda_(1,2) = ( 2 +(-) sqrt(-a/7) )/2 $
quindi:
per $a=0$
gli autovalori sono:
$\lambda = 1/7$ il cui autovettore associato è $(0,0,1)$
$\lambda_1 = \lambda_2= 1$ autovettore associato è del tipo $(0,y,0)$
quindi la molteplicità geometrica è 1 (non 2 come dovrebbe essere...)
tuttavia posso fare: $y=1$ e $y=0$ (che non è multiplo di 1) i cui autovettori sono:
$(0,1,0)$ e $(0,0,0)$
(quindi nemmeno in questo caso sarebbe diagonalizzabile...)
che ne pensi?
Il vettore nullo è autovettore per ogni \(\lambda\) quindi direi che non funziona. È corretto dire che non è diagonalizzabile.
Quindi rimane il caso
$a<0$ e $a=-7$ (caso già visto all'inizio)
Affinchè sia ''ortogonalmente diagonalizzabile'' invece che posso fare?
$a<0$ e $a=-7$ (caso già visto all'inizio)
Affinchè sia ''ortogonalmente diagonalizzabile'' invece che posso fare?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo