Matrice diagonalizzabile
Ciao a tutti, ho questo esercizio che chiede:
Dire per quali $t \in R$ la matrice $((1,0,0),(0,t,t-2),(0,0,t))$ è diagonalizzabile.
Non ho capito cosa si intende per "dire quali t è diagonalizzabile". Io, svolgendo l'esercizio ho trovato gli autovalori che sono $\lambda_1=1$ con $m_a=1$ e $\lambda_2=t$ con $m_a=2$. Successivamente mi sono trovato gli autovettori relativi agli autovalori, e ne ho trovati solo due, deducendo quindi che la matrice non è diagonalizzabile. Ma non ho capito come faccio a dire per quali t la matrice è diagonalizzabile. Devo indovinare le t?
Grazie a tutti
Dire per quali $t \in R$ la matrice $((1,0,0),(0,t,t-2),(0,0,t))$ è diagonalizzabile.
Non ho capito cosa si intende per "dire quali t è diagonalizzabile". Io, svolgendo l'esercizio ho trovato gli autovalori che sono $\lambda_1=1$ con $m_a=1$ e $\lambda_2=t$ con $m_a=2$. Successivamente mi sono trovato gli autovettori relativi agli autovalori, e ne ho trovati solo due, deducendo quindi che la matrice non è diagonalizzabile. Ma non ho capito come faccio a dire per quali t la matrice è diagonalizzabile. Devo indovinare le t?
Grazie a tutti
Risposte
Non devi fare altro che discutere i casi che si possono verificare alla luce delle conoscenze sulla molteplicità algebrica e geometrica.
Hai detto che gli autovalori sono: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=t$, $\lambda_3=t$.
A) Inizia a discutere il caso $t=1$. Hai tre autovalori coincidenti (molteplicità algebrica $3$), vedi cosa accade per la molteplicità geometrica e concludi.
B) Discuti il caso quando $t!=1$......
Hai detto che gli autovalori sono: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=t$, $\lambda_3=t$.
A) Inizia a discutere il caso $t=1$. Hai tre autovalori coincidenti (molteplicità algebrica $3$), vedi cosa accade per la molteplicità geometrica e concludi.
B) Discuti il caso quando $t!=1$......
Discuto il caso per t=1 e t diverso da 1 perchè ho un autovalore $\lambda = 1$?
Comunque grazie mille.
Comunque grazie mille.
Altro problema con altro esercizio.
Data la matrice $((0,0,2,0),(0,1,0,1),(2,0,0,0),(0,1,0,1))$ vedere se è diagonalizzabile, e, se lo è, trovare una matrice diagonalizzante.
Io ho fatto cosi. A vista si vede che è diagonalizzabile in quanto è una matrice simmetrica, quindi per il thm spettrale, tale matrice è diagonalizzabile.
Ma non capisco come trovare la matrice diagonalizzante.
Data la matrice $((0,0,2,0),(0,1,0,1),(2,0,0,0),(0,1,0,1))$ vedere se è diagonalizzabile, e, se lo è, trovare una matrice diagonalizzante.
Io ho fatto cosi. A vista si vede che è diagonalizzabile in quanto è una matrice simmetrica, quindi per il thm spettrale, tale matrice è diagonalizzabile.
Ma non capisco come trovare la matrice diagonalizzante.
Tu giustamente dici che è diagonalizzabile in quanto simmetrica. Ti sei chiesto cosa vuol dire che la matrice assegnata è diagonalizzabile?
mmmm, sinceramente non capisco la tua domanda. Una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica dei suoi autovalori corrisponde alla molteplicità geometrica degli autovettori relativi agli autovalori, no?
Con la mia domanda ti volevo guidare su una delle definizioni di matrice diagonalizzabile $A$ ovvero sull'esistenza di una matrice invertibile $P$ e di una matrice diagonale $D$ con la proprietà che $P^-1AP=D$.
La matrice $P$ si costruisce mettendo in colonna una base di autovettori, la matrice $P$ si dice matrice diagonalizzante.
La matrice $P$ si costruisce mettendo in colonna una base di autovettori, la matrice $P$ si dice matrice diagonalizzante.
mmmm...continuo a capire poco, scusami, potresti aiutarmi con dei passaggi?
Grazie mille...
Grazie mille...
Ti riporto un esempio con una matrice di ordine $2$, il problema si pone per una matrice di ordine $n>=2$. Osserviamo che il problema della diagonalizzazione non sempre ammette soluzione.
Consideriamo la matrice $A=((-1,-1),(6,4))$, diagonalizzare questa matrice vuol dire determinare una matrice $P$ e una matrice $D$ che verificano la condizione $P^-1AP=D$. Come si procede?
Scriviamo la matrice $A-\lambdaI=((-1-\lambda,-1),(6,4-\lambda))$.
Si calcola il polinomio caretteristico $p(\lambda)=|A-\lambdaI|=|(-1-\lambda,-1),(6,4-\lambda)|=\lambda^2-3\lambda+2$.
Determiniamo le radici del polinomio caratteristico (autovalori): $\lambda^2-3\lambda+2=0iff\lambda_1=1vv\lambda_2=2$.
Troviamo l'autospazio in corrispondenza dell'autovalore $\lambda_1=1$
$A-I=((-1-1,-1),(6,4-1))=((-2,-1),(6,3))$. Matrice che restituisce il sistema: $\{(-2x - y=0),(6x+3y=0):}$, l'autospazio è $V_1=L{(1,-2)}$
Troviamo l'autospazio in corrispondenza dell'autovalore $\lambda_2=2$
$A-2I=((-1-2,-1),(6,4-2))=((-3,-1),(6,2))$. Matrice che restituisce il sistema: $\{(-3x - y=0),(6x+2y=0):}$, l'autospazio è $V_2=L{(1,-3)}$
La matrice $P=((1,1),(-2,-3))$ costruita mettendo in colonna la base di autovettori (matrice diagonalizzante) ha la seguente proprietà:
$P^-1AP=((1,1),(-2,-3))^-1((-1,-1),(6,4))((1,1),(-2,-3))=((1,0),(0,2))$
Nella matrice $D=((1,0),(0,2))$ sulla diagonale principale figurano gli autovalori.
Consideriamo la matrice $A=((-1,-1),(6,4))$, diagonalizzare questa matrice vuol dire determinare una matrice $P$ e una matrice $D$ che verificano la condizione $P^-1AP=D$. Come si procede?
Scriviamo la matrice $A-\lambdaI=((-1-\lambda,-1),(6,4-\lambda))$.
Si calcola il polinomio caretteristico $p(\lambda)=|A-\lambdaI|=|(-1-\lambda,-1),(6,4-\lambda)|=\lambda^2-3\lambda+2$.
Determiniamo le radici del polinomio caratteristico (autovalori): $\lambda^2-3\lambda+2=0iff\lambda_1=1vv\lambda_2=2$.
Troviamo l'autospazio in corrispondenza dell'autovalore $\lambda_1=1$
$A-I=((-1-1,-1),(6,4-1))=((-2,-1),(6,3))$. Matrice che restituisce il sistema: $\{(-2x - y=0),(6x+3y=0):}$, l'autospazio è $V_1=L{(1,-2)}$
Troviamo l'autospazio in corrispondenza dell'autovalore $\lambda_2=2$
$A-2I=((-1-2,-1),(6,4-2))=((-3,-1),(6,2))$. Matrice che restituisce il sistema: $\{(-3x - y=0),(6x+2y=0):}$, l'autospazio è $V_2=L{(1,-3)}$
La matrice $P=((1,1),(-2,-3))$ costruita mettendo in colonna la base di autovettori (matrice diagonalizzante) ha la seguente proprietà:
$P^-1AP=((1,1),(-2,-3))^-1((-1,-1),(6,4))((1,1),(-2,-3))=((1,0),(0,2))$
Nella matrice $D=((1,0),(0,2))$ sulla diagonale principale figurano gli autovalori.
"weblan":
Ti riporto un esempio con una matrice di ordine $2$, il problema si pone per una matrice di ordine $n>=2$. Osserviamo che il problema della diagonalizzazione non sempre ammette soluzione.
Consideriamo la matrice $A=((-1,-1),(6,4))$, diagonalizzare questa matrice vuol dire determinare una matrice $P$ e una matrice $D$ che verificano la condizione $P^-1AP=D$. Come si procede?
Scriviamo la matrice $A-\lambdaI=((-1-\lambda,-1),(6,4-\lambda))$.
Si calcola il polinomio caretteristico $p(\lambda)=|A-\lambdaI|=|(-1-\lambda,-1),(6,4-\lambda)|=\lambda^2-3\lambda+2$.
Determiniamo le radici del polinomio caratteristico (autovalori): $\lambda^2-3\lambda+2=0iff\lambda_1=1vv\lambda_2=2$.
Troviamo l'autospazio in corrispondenza dell'autovalore $\lambda_1=1$
$A-I=((-1-1,-1),(6,4-1))=((-2,-1),(6,3))$. Matrice che restituisce il sistema: $\{(-2x - y=0),(6x+3y=0):}$, l'autospazio è $V_1=L{(1,-2)}$
Troviamo l'autospazio in corrispondenza dell'autovalore $\lambda_2=2$
$A-2I=((-1-2,-1),(6,4-2))=((-3,-1),(6,2))$. Matrice che restituisce il sistema: $\{(-3x - y=0),(6x+2y=0):}$, l'autospazio è $V_2=L{(1,-3)}$
La matrice $P=((1,1),(-2,-3))$ costruita mettendo in colonna la base di autovettori (matrice diagonalizzante) ha la seguente proprietà:
$P^-1AP=((1,1),(-2,-3))^-1((-1,-1),(6,4))((1,1),(-2,-3))=((1,0),(0,2))$
Nella matrice $D=((1,0),(0,2))$ sulla diagonale principale figurano gli autovalori.
Ciao weblan, grazie al tuo esempio adesso ho capito!
Ti riporto i passaggi dei calcoli che ho fatto per la matrice che avevo io, cos', casomani, se ne hai voglia, vedi se ho fatto bene.
La matrice che avevo io è $((0,0,2,0),(0,1,0,1),(2,0,0,0),(0,1,0,1))$ e dovevo vedere se era o meno diagonalizzabile.
Mi sono trovato gli autovalori della matrice calcolando il determinante di $((-\lambda,0,2,0),(0,1-\lambda,0,1),(2,0,-\lambda,0),(0,1,0,1-\lambda))$ che mi è venuto essere $\lambda^4-2\lambda^3-4\lambda^2+8\lambda$ e quindi ho trovato i seguenti autovalori:
$\lambda_1=0;$
$\lambda_2=2;$
$\lambda_3=2;$
$\lambda_4=-2;$
Trovo l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_1=0;$
$((0,0,2,0),(0,1,0,1),(2,0,0,0),(0,1,0,1))$$((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0))$
$\{(2z=0),(y + w = 0),(2x = 0),(y + w = 0):}=\{(z = 0),(y = -w),(x = 0),(0 = 0):}$ quindi $w(0,-1,0,1)=L(0,-1,0,1)$
Trovo l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_{2,3}=2$
$\{(-2x+2z=0),(-y + w = 0),(2x-2z = 0),(y - w = 0):}=\{(0=0),(0=0),(x = z),(y=w):}$ quindi $w(0,1,0,1)=L(0,1,0,1)$ e $z(1,0,1,0)=L(1,0,1,0)$
Trovo l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_4=-2$
$\{(2x+2z=0),(3y + w = 0),(2x+2z = 0),(y + 3w = 0):}=\{(x=-z),(w=0),(0 = 0),(y=-3w):}=\{(x=-z),(w=0),(0 = 0),(y=-0):}$ quindi $z(-1,0,1,0)=L(-1,0,1,0)$
Mettendo in colonna la base di autovettori ottengo la matrice $((0,-1,0,1),(0,1,0,1),(1,0,1,0),(-1,0,1,0))$ che è la matrice diagonalizzante. Ho fatto bene i calcoli?
Si i calcoli vanno bene, solo due annotazioni.
1) La matrice diagonalizzante si deve costruire mettendo come colonne la base di autovettori.
2) In primo luogo si calcolano gli autospazi relativi ad autovalori con molteplicità algebrica $>=2$. Nel tuo caso dovevi prima calcolare l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=2$, tanto le radici semplici "restituiscono" sempre un autospazio di dimensione $1$. L'autovalore $\lambda=2$ poteva essere non regolare, la matrice non era diagonalizzabile e avevi svolto un lavoro inutile cancolando l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=0$.
1) La matrice diagonalizzante si deve costruire mettendo come colonne la base di autovettori.
2) In primo luogo si calcolano gli autospazi relativi ad autovalori con molteplicità algebrica $>=2$. Nel tuo caso dovevi prima calcolare l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=2$, tanto le radici semplici "restituiscono" sempre un autospazio di dimensione $1$. L'autovalore $\lambda=2$ poteva essere non regolare, la matrice non era diagonalizzabile e avevi svolto un lavoro inutile cancolando l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=0$.
ok, grazie mille. Ma non non ho capito il tuo primo punto. La matrice diagonalizzante che ho costruito io non va bene?
Ogni vettore della base di autovettori lo devi mettere in colonna, insomma devi considerare la trasporta della matrice che hai scritto.
ok, grazie mille. Adesso ho capito. 
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