Matrice diagonalizzabile

[seseandre]

salve a tutti vorrei proporre alla vostra attenzione un esercizio di un esame di algebra lineare che dice:

si provi che non esiste una matrice diagonalizzabile B tale che



B^2 sia(1 1 ) appartendente a F5 ovvero un campo con elementi {0,1,2,3,4}
(4 1 )

per dimostrarlo basta il teorema di binet?oppure non è sufficiente e perciò devo andare a diagonalizzare la matrice?
grazie mille!!!

[miuemia]

che vuol dire (1 1)????
utilizza $ per scrivere bene le formule

[Gi81]

@miuemia: credo che seseandre intenda $B^2 = ((1,1),(4,1))$

[miuemia]

Scrivi la tua idea per utilizzare il teorema di Binet così capiamo cosa hai in mente.

[seseandre]

scusate tanto per la scritture poco comprensibile.
cmq avrei voluto dimostrare con il teorema di binet che il det (B^2) non è possibile ricavarlo da(detB)^2 , perche non esiste in F5 ma credo non sia sufficiente a svolegre l'esercizio in modo completo, che punta più sulla diagonalizzazione!
grazie ancora!!

[miuemia]

Scusa ma il teorema di Binet ti dice proprio che $det(B^2)=(det(B))^2$ quindi lo riesci a determinare.
Semmai devi sfruttare il fatto che B è simile a una matrice diagonale e su tale diagonale ci sono esattamente i due quadrati di 2 che è il determinante di $B^2$.

ps: scusa il determinante di $B^2$ è $-3=2$ in $F_5$

....

Quindi detto $x=det(B)$ tu stai cercando le soluzioni dell'equazione $x^2=2$ in $F_5$...che con semplici calcoli si vede che è irriducibile. Dunque trai le conclusioni

[seseandre]

ah ok perfetto grazie!!!