Matrice diagonalizzabile
Sia f ∈ $(R^3)$ ed A= $((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$ la matrice ad esso associata rispetto alla base canonica in $R^3$.
Determinare, se esiste, una matrice Diagonale D rappresentativa di f e verificare il legame di similitudine tra le matrici A e D.
Allora da quello che ho capito mi sta chiedendo una matrice diagonalizzabile simile ad A.
devo quindi risolvere questo determinante per trovare gli autovalori di A:
det= $((0-\lambda,1,0),(1,0-\lambda,0),(0,0,1-\lambda))$ che risolvendo l' equazione di terzo grado mi da $\lambda= 1; \lambda= -1; \lambda= 1;$
Abbiamo anche moltiplicità doppia. Ora però non capisco come costruire la matrice simile e verificare tale similitudine. Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie
Determinare, se esiste, una matrice Diagonale D rappresentativa di f e verificare il legame di similitudine tra le matrici A e D.
Allora da quello che ho capito mi sta chiedendo una matrice diagonalizzabile simile ad A.
devo quindi risolvere questo determinante per trovare gli autovalori di A:
det= $((0-\lambda,1,0),(1,0-\lambda,0),(0,0,1-\lambda))$ che risolvendo l' equazione di terzo grado mi da $\lambda= 1; \lambda= -1; \lambda= 1;$
Abbiamo anche moltiplicità doppia. Ora però non capisco come costruire la matrice simile e verificare tale similitudine. Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie
Risposte
In corrsipondenza di ciascun autovalore devi determinare l'autospazio associato. In realtà trovi le componenti degli autovettori nella base assegnata, visto che la base è quella canonica le due cose "in un certo senso" coincidono.
Risolvi il sistema omogeneo in corrispondenza dell'autovalore $\lambda=1$ e $\lambda=-1$. Assicurati che per $\lambda=1$, l'autovalore sia regolare.
Poi devi costruire la matriche diagonalizza la matrice assegnata. Tale matrice si costruisce mettendo come colonne le componenti degli autovettori nella base assegnata, nel tuo caso saranno proprio gli autovettori.
Risolvi il sistema omogeneo in corrispondenza dell'autovalore $\lambda=1$ e $\lambda=-1$. Assicurati che per $\lambda=1$, l'autovalore sia regolare.
Poi devi costruire la matriche diagonalizza la matrice assegnata. Tale matrice si costruisce mettendo come colonne le componenti degli autovettori nella base assegnata, nel tuo caso saranno proprio gli autovettori.
Ciao
caschi a fagiolo perchè stavo giusto riguardando degli esercizi relativi a quell'argomento.
Il metodo è il seguente.
Prendi la matrice di partenza e ne calcoli gli autovalori
dopodiche calcoli i relativi insiemi di autovettori
la matrice diagonalizzante è una matrice le cui colonne sono autovettori tra loro linearmente indipendenti (Chiamiamo questa matrice $P$)
quindi la tua matrice diagonale $D$ la trovi calcolando
[tex]D= P^{-1}AP[/tex]
Nel tuo caso:
gli autovalori che hai calcolato sono corretti, quindi devi calcolare gli insiemi degli autovettori per ciascuno di essi
prendiamo $lambda_1 = -1$
risolviamo il sistema
[tex]A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \lambda_{1} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che diventa
${ ( x=-y ),( y=-x ),( z=-z ):}$ ovvero ${ ( y=-x ),( z=0 ):}$
prendiamo $x$ come parametro e chiamiamolo $t$ otteniamo il primo insieme di autovalori
[tex]v_{1} = \begin{pmatrix} t \\ -t \\ 0 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Vediamo adesso gli autovalori della radice $1$
in questo caso il sistema diventa
${ ( x=y ),( y=x ),( z=z ):}$ questa volta i parametri che dobbiamo usare sono due perchè non abbiamo alcuna relazione tra z e le altre due variabili quindi poniamo $x=alpha$ e $z=beta$ e otteniamo l'insieme di autovettori
[tex]v_{1} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix}[/tex]
verifico che la matrice sia diagonalizzabile prima di procedere, e lo è in effetti. (ometto i calcoli, se ti servono chiedi pure)
ora troviamo la matrice diagonalizzante prendendo come colonne tre autovettori linearmente indipendenti
la prima colonna è data dal primo insieme di autovettori. Siccome $t$ è un parametro scelto arbitrariamente è sensato sceglierlo il più semplice possibile, prendiamo quindi $t=1$ (ricordiamo che gli autovettori non devono essere nulli, quindi non possiamo prendere $t=0$)
la prima colonna sarà quindi [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
facciamo la stessa cosa con il secondo insieme di autovettori facendo attenzione che a scegliere i valori in modo che le tre colonne sia linearmente indipendenti
la seconda colonna possiamo crearla prendendo $alpha = 1$ e $beta=0$ ottenendo [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
per la terza colonna prendiamo per esempio $alpha = 0$ e $beta=1$ ottenendo [tex]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
otteniamo quindi una matrice diagonalizzante [tex]P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
facendo il calcolo trovi la tua matrice diagonale
[tex]D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
spero di esserti stato di aiuto
Ciao
spero di esserti stato di aiuto
caschi a fagiolo perchè stavo giusto riguardando degli esercizi relativi a quell'argomento.
Il metodo è il seguente.
Prendi la matrice di partenza e ne calcoli gli autovalori
dopodiche calcoli i relativi insiemi di autovettori
la matrice diagonalizzante è una matrice le cui colonne sono autovettori tra loro linearmente indipendenti (Chiamiamo questa matrice $P$)
quindi la tua matrice diagonale $D$ la trovi calcolando
[tex]D= P^{-1}AP[/tex]
Nel tuo caso:
gli autovalori che hai calcolato sono corretti, quindi devi calcolare gli insiemi degli autovettori per ciascuno di essi
prendiamo $lambda_1 = -1$
risolviamo il sistema
[tex]A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \lambda_{1} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che diventa
${ ( x=-y ),( y=-x ),( z=-z ):}$ ovvero ${ ( y=-x ),( z=0 ):}$
prendiamo $x$ come parametro e chiamiamolo $t$ otteniamo il primo insieme di autovalori
[tex]v_{1} = \begin{pmatrix} t \\ -t \\ 0 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Vediamo adesso gli autovalori della radice $1$
in questo caso il sistema diventa
${ ( x=y ),( y=x ),( z=z ):}$ questa volta i parametri che dobbiamo usare sono due perchè non abbiamo alcuna relazione tra z e le altre due variabili quindi poniamo $x=alpha$ e $z=beta$ e otteniamo l'insieme di autovettori
[tex]v_{1} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix}[/tex]
verifico che la matrice sia diagonalizzabile prima di procedere, e lo è in effetti. (ometto i calcoli, se ti servono chiedi pure)
ora troviamo la matrice diagonalizzante prendendo come colonne tre autovettori linearmente indipendenti
la prima colonna è data dal primo insieme di autovettori. Siccome $t$ è un parametro scelto arbitrariamente è sensato sceglierlo il più semplice possibile, prendiamo quindi $t=1$ (ricordiamo che gli autovettori non devono essere nulli, quindi non possiamo prendere $t=0$)
la prima colonna sarà quindi [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
facciamo la stessa cosa con il secondo insieme di autovettori facendo attenzione che a scegliere i valori in modo che le tre colonne sia linearmente indipendenti
la seconda colonna possiamo crearla prendendo $alpha = 1$ e $beta=0$ ottenendo [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
per la terza colonna prendiamo per esempio $alpha = 0$ e $beta=1$ ottenendo [tex]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
otteniamo quindi una matrice diagonalizzante [tex]P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
facendo il calcolo trovi la tua matrice diagonale
[tex]D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
spero di esserti stato di aiuto
Ciao
spero di esserti stato di aiuto
"Summerwind78":
Ciao
caschi a fagiolo perchè stavo giusto riguardando degli esercizi relativi a quell'argomento.
Il metodo è il seguente.
Prendi la matrice di partenza e ne calcoli gli autovalori
dopodiche calcoli i relativi insiemi di autovettori
la matrice diagonalizzante è una matrice le cui colonne sono autovettori tra loro linearmente indipendenti (Chiamiamo questa matrice $P$)
quindi la tua matrice diagonale $D$ la trovi calcolando
[tex]D= P^{-1}AP[/tex]
Nel tuo caso:
gli autovalori che hai calcolato sono corretti, quindi devi calcolare gli insiemi degli autovettori per ciascuno di essi
prendiamo $lambda_1 = -1$
risolviamo il sistema
[tex]A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \lambda_{1} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che diventa
${ ( x=-y ),( y=-x ),( z=-z ):}$ ovvero ${ ( y=-x ),( z=0 ):}$
prendiamo $x$ come parametro e chiamiamolo $t$ otteniamo il primo insieme di autovalori
[tex]v_{1} = \begin{pmatrix} t \\ -t \\ 0 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Vediamo adesso gli autovalori della radice $1$
in questo caso il sistema diventa
${ ( x=y ),( y=x ),( z=z ):}$ questa volta i parametri che dobbiamo usare sono due perchè non abbiamo alcuna relazione tra z e le altre due variabili quindi poniamo $x=alpha$ e $z=beta$ e otteniamo l'insieme di autovettori
[tex]v_{1} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix}[/tex]
verifico che la matrice sia diagonalizzabile prima di procedere, e lo è in effetti. (ometto i calcoli, se ti servono chiedi pure)
ora troviamo la matrice diagonalizzante prendendo come colonne tre autovettori linearmente indipendenti
la prima colonna è data dal primo insieme di autovettori. Siccome $t$ è un parametro scelto arbitrariamente è sensato sceglierlo il più semplice possibile, prendiamo quindi $t=1$ (ricordiamo che gli autovettori non devono essere nulli, quindi non possiamo prendere $t=0$)
la prima colonna sarà quindi [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
facciamo la stessa cosa con il secondo insieme di autovettori facendo attenzione che a scegliere i valori in modo che le tre colonne sia linearmente indipendenti
la seconda colonna possiamo crearla prendendo $alpha = 1$ e $beta=0$ ottenendo [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
per la terza colonna prendiamo per esempio $alpha = 0$ e $beta=1$ ottenendo [tex]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
otteniamo quindi una matrice diagonalizzante [tex]P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
facendo il calcolo trovi la tua matrice diagonale
[tex]D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
spero di esserti stato di aiuto
Ciao
spero di esserti stato di aiuto
La base è quella, devi solo apportare la modifica alla matrice $D$. La base di autovettori si può scegliere prendendo gli autovettori rispetto ad una qualsiasi permuatazione di essi. Non comprendo perchè la matrice $P$ l'hai costruita prima mettendo in colonna un autovettore di autovalore $1$, poi un autovettore di autovalore $-1$ e poi l'altro autovettore. Va bene lo stesso, però.......Poi, una radice semplice è regolare, in generale è buona abitudine verificare prima gli autovalori di molteplicità algebrica maggiore di $1$. Se l'autovalore $1$ non fosse stato regolare, avresti perso del tempo a calcolare l'autospazio associato all'autovalore $-1$.
"weblan":
La base è quella, devi solo apportare la modifica alla matrice $D$. La base di autovettori si può scegliere prendendo gli autovettori rispetto ad una qualsiasi permuatazione di essi. Non comprendo perchè la matrice $P$ l'hai costruita prima mettendo in colonna un autovettore di autovalore $1$, poi un autovettore di autovalore $-1$ e poi l'altro autovettore. Va bene lo stesso, però.......Poi, una radice semplice è regolare, in generale è buona abitudine verificare prima gli autovalori di molteplicità algebrica maggiore di $1$. Se l'autovalore $1$ non fosse stato regolare, avresti perso del tempo a calcolare l'autospazio associato all'autovalore $-1$.
l'ordine l'ho preso a caso, per mia abitudine prendo sempre prima gli autovalori con molteplicità 1 e poi gli altri, non è una regola, ma è solo un mio modo di fare.
ho anche indicato di aver omesso i calcoli relativi alla diagonalizzabilità,
Grazie mille, sei stato chiarissimo. Ma per verificare se è diagonalizzabile, cosa dovrei fare? Se non è un problema per te, magari spiegarmelo anche solo a parole
Nessun problema, te lo spiego volentieri
Perchè la tua matrice sia diagonalizzabile devi verificare che:
1) la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori sia pari alla dimensione della matrice
2) tutte le molteplicità geometriche devono coincidere con le relative molteplicità algebriche
Vediamo il tuo caso.
La molteplicità algebrica non è altro che molteplicità che abbiamo usato fino ad ora.
Nel tuo esercizio hai $lambda_1 = -1$ con molteplicità pari a 1 e $lambda_2 = 1$ con molteplicità pari a 2
se sommiamo le molteplicità otteniamo $1+2=3$ che corrisponde alla dimensione della tua matrice (che è una $3 \times 3$ quindi ha dimensione 3), pertanto il punto 1) è verificato
adesso vediamo le molteplicità geometriche
chiamerò [tex]m^{g} (\lambda_{1})[/tex] e [tex]m^{g} (\lambda_{2})[/tex] le molteplicità geometriche riferite rispettivamente agli autovalori $lambda_1$ e $lambda_2$, e chiamerò $dim$ la dimensione della matrice (nel nostro caso 3)
Data la tua matrice di partenza $A$ la molteplicità geometrica relativa a $lambda_1$ è
[tex]m^{g} (\lambda_{1}) = dim(A)-rango(A-\lambda_{1}I)[/tex] dove $I$ è la matrice identità con la stessa dimensione di $A$
quindi diventa
[tex]m^{g} (\lambda_{1}) = dim(A)-rango(A-\lambda_{1}I) = 3-rango(A-(-1)I)=3-2=1[/tex]
per quanto riguarda $lambda_2$ abbiamo
[tex]m^{g} (\lambda_{2}) = dim(A)-rango(A-\lambda_{2}I) = 3-rango(A-1I)=3-1=2[/tex]
$lambda_1$ aveva molteplicità algebrica 1 e ha molteplicità geometrica 1 quindi coincidono
$lambda_2$ aveva molteplicità algebrica 2 e ha molteplicità geometrica 2 quindi coincidono
pertanto anche il secondo punto è verificato
spero di non averlo spiegato in modo troppo confuso
se ti serve aiuto chiedi pure
ciao
Perchè la tua matrice sia diagonalizzabile devi verificare che:
1) la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori sia pari alla dimensione della matrice
2) tutte le molteplicità geometriche devono coincidere con le relative molteplicità algebriche
Vediamo il tuo caso.
La molteplicità algebrica non è altro che molteplicità che abbiamo usato fino ad ora.
Nel tuo esercizio hai $lambda_1 = -1$ con molteplicità pari a 1 e $lambda_2 = 1$ con molteplicità pari a 2
se sommiamo le molteplicità otteniamo $1+2=3$ che corrisponde alla dimensione della tua matrice (che è una $3 \times 3$ quindi ha dimensione 3), pertanto il punto 1) è verificato
adesso vediamo le molteplicità geometriche
chiamerò [tex]m^{g} (\lambda_{1})[/tex] e [tex]m^{g} (\lambda_{2})[/tex] le molteplicità geometriche riferite rispettivamente agli autovalori $lambda_1$ e $lambda_2$, e chiamerò $dim$ la dimensione della matrice (nel nostro caso 3)
Data la tua matrice di partenza $A$ la molteplicità geometrica relativa a $lambda_1$ è
[tex]m^{g} (\lambda_{1}) = dim(A)-rango(A-\lambda_{1}I)[/tex] dove $I$ è la matrice identità con la stessa dimensione di $A$
quindi diventa
[tex]m^{g} (\lambda_{1}) = dim(A)-rango(A-\lambda_{1}I) = 3-rango(A-(-1)I)=3-2=1[/tex]
per quanto riguarda $lambda_2$ abbiamo
[tex]m^{g} (\lambda_{2}) = dim(A)-rango(A-\lambda_{2}I) = 3-rango(A-1I)=3-1=2[/tex]
$lambda_1$ aveva molteplicità algebrica 1 e ha molteplicità geometrica 1 quindi coincidono
$lambda_2$ aveva molteplicità algebrica 2 e ha molteplicità geometrica 2 quindi coincidono
pertanto anche il secondo punto è verificato
spero di non averlo spiegato in modo troppo confuso
se ti serve aiuto chiedi pure
ciao
risolviamo il sistema
[tex]A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \lambda_{1} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]
che diventa
${ ( x=-y ),( y=-x ),( z=-z ):}$ ovvero ${ ( y=-x ),( z=0 ):}$
prendiamo $x$ come parametro e chiamiamolo $t$ otteniamo il primo insieme di autovalori
[tex]v_{1} = \begin{pmatrix} t \\ -t \\ 0 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Io non ho capito come prendi i valori di quel sistema. Sono quelli della matrice degli autovalori? Scusami comunque non mi è chiaro solo questo punto poi credo di avere capito tutti
spero di aver capito correttamente cosa non ti è chiaro.
Ho semplicemente preso un valore arbitrario del parametro $t$. Quello che devo fare è prendere un qualsiasi autovalore appartenente a questo insieme, quindi devo prendere una qualsiasi valore di $t$. Il valore più semplice da usare è $1$ che sostituito a $t$ mi da l'autovalore
[tex]v_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
ricorda che l'autovalore non può essere nullo quindi non è corretto prendere $t=0$
Ho semplicemente preso un valore arbitrario del parametro $t$. Quello che devo fare è prendere un qualsiasi autovalore appartenente a questo insieme, quindi devo prendere una qualsiasi valore di $t$. Il valore più semplice da usare è $1$ che sostituito a $t$ mi da l'autovalore
[tex]v_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
ricorda che l'autovalore non può essere nullo quindi non è corretto prendere $t=0$
EDIT
Per vedere se ho capito come si calcola ho provato a fare un altro esercizio. Questa è la matrice della quale devo trovare la matrice diagonale simile.
$((1,0,6),(-1,0,2),(-1,0,2))$
Dal quale ricaviamo:
$((1-\lambda,0,6),(-1,-\lambda,2),(-1,0,2-\lambda))$
Allora abbiamo come determinante $\lambda= -1 ; \lambda=4; \lambda=0 $
Dal quale ricavo gli autovettori per $\lambda=-1$
$\{(x + 6z = -x),(-x+2z = -y),(-x+2z= -z):}$
$\{(x=-3z),(y=-5z):}$ quindi avrei risultati del tipo $(-3a),(-5a),(a)$ cioè $(-3),(-5),(1)$
Gli autovettori per $\lambda=0$
$\{(x + 6z = 0),(-x+2z = 0),(-x+2z= 0):}$
$\{(x=-6z),(y=y):}$ quindi avrei risultati del tipo $(-6a),(b),(a)$ cioè $(-6),(0),(1)$
Gli autovettori per $\lambda=4$
$\{(x + 6z = 4x),(-x+2z = 4y),(-x+2z= 4z):}$
$\{(x=2z),(y=0):}$ quindi avrei risultati del tipo $(2a),(0),(a)$ cioè $(2),(0),(1)$
Mi potete dire se sono corrette? Grazie
$((1,0,6),(-1,0,2),(-1,0,2))$
Dal quale ricaviamo:
$((1-\lambda,0,6),(-1,-\lambda,2),(-1,0,2-\lambda))$
Allora abbiamo come determinante $\lambda= -1 ; \lambda=4; \lambda=0 $
Dal quale ricavo gli autovettori per $\lambda=-1$
$\{(x + 6z = -x),(-x+2z = -y),(-x+2z= -z):}$
$\{(x=-3z),(y=-5z):}$ quindi avrei risultati del tipo $(-3a),(-5a),(a)$ cioè $(-3),(-5),(1)$
Gli autovettori per $\lambda=0$
$\{(x + 6z = 0),(-x+2z = 0),(-x+2z= 0):}$
$\{(x=-6z),(y=y):}$ quindi avrei risultati del tipo $(-6a),(b),(a)$ cioè $(-6),(0),(1)$
Gli autovettori per $\lambda=4$
$\{(x + 6z = 4x),(-x+2z = 4y),(-x+2z= 4z):}$
$\{(x=2z),(y=0):}$ quindi avrei risultati del tipo $(2a),(0),(a)$ cioè $(2),(0),(1)$
Mi potete dire se sono corrette? Grazie
"gabry45":
$\{(x=-3z),(y=-5z):}$ quindi avrei risultati del tipo $(-3a),(-5a),(a)$ cioè $(-3),(-5),(1)$
quel tuo "cioè" mi lascia un po' perplesso
Ma magari hai capito benissimo ed hai scritto il tutto in modo molto compatto
l'insieme degli autovalori che hai trovato (più correttamente chiamato "autospazio") è corretto. Ora devi scegliere uno di questi autovalori per creare una colonna della matrice diagonalizzante.
Scegliando $a=1$ allora il tuo autovalore diventa $(-3),(-5),(1)$, ma avresti potuto scegliere una qualsiasi altro valore di $a$. L'importante è scegliere una $a$ che determini un autovalore che sia linearmente indipendente con gli altri due che devi trovare.
Si si sono stato parecchio compatto, comunque il senso che quegli "a" sono generici per comodità avevo posto a=1
Nel calcolo della moltiplicità geometrica quando parli di dimensione di (A) intendi comunque il rango di A?
Perchè prendendo questa matrice, la moltiplicità algebrica non coincide con la geometrica.
La matrice in questione è:
$((1,0,-6),(-1,0,2),(-1,0,2))$
Ponendo $A ((x),(y),(z))$ = $lambda ((x),(y),(z))$
Ottengo la matrice:
$((1-lambda,0,-6),(-1,-lambda,2),(-1,0,2-lambda))$
Troviamo i seguenti autovalori $lambda = 0; lambda = -1; lambda =4 $
Abbiamo moltiplicità algebrica = 3 perchè gli autovalori sono 3.
Quando vado a calcolare la moltiplicità geometrica mi danno tutte 0, però sto considerando la DIM (A) come 2, perchè il suo rango è 2. Sto sbagliando?
Perchè prendendo questa matrice, la moltiplicità algebrica non coincide con la geometrica.
La matrice in questione è:
$((1,0,-6),(-1,0,2),(-1,0,2))$
Ponendo $A ((x),(y),(z))$ = $lambda ((x),(y),(z))$
Ottengo la matrice:
$((1-lambda,0,-6),(-1,-lambda,2),(-1,0,2-lambda))$
Troviamo i seguenti autovalori $lambda = 0; lambda = -1; lambda =4 $
Abbiamo moltiplicità algebrica = 3 perchè gli autovalori sono 3.
Quando vado a calcolare la moltiplicità geometrica mi danno tutte 0, però sto considerando la DIM (A) come 2, perchè il suo rango è 2. Sto sbagliando?
Qualcuno potrebbe dirmi meglio? Perchè nn mi torna, forse sbaglio io, ma la Dim (A) non è il rango?
Ciao
no, il rango e la dimensione sono due cose diverse. Il rango è il numero di righe linearmente indipendenti
ti spiego come calcolarlo: ci sono tanti metodi, io sinceramente mi trovo comodo con 2 di questi:
1) metodo della matrice a gradini
usando l'algoritmo di Gauss riduci la tua matrice di partenza ad una matrice a gradini (ovviamente per righe)
Quando l'hai ridotta a gradini, con il minor numero possibile di gradini, vedi quante righe non hanno tutti zeri. Il numero di righe che non tutte nulle è il rango.
2) metodo dei minori (quello che preferisco)
vediamolo con un esempio
Per prima cosa ricordiamo che il rango di una matrice qualsiasi (anche non quadrata) può essere al massimo pari alla sua dimensione minore, ovvero se hai una matrice 4x3, il rango potrà essere al massimo 3, se hai una 2x5 il rango sarà al massimo 2, etc
Il rango è dato dalla dimensione massima di un minore con determinante non nullo. I minori sono le sottomatrici quadrate compresa la matrice di partenza. Ovvero una matrice 3x3 ha un primo minore che è la matrice stessa, e poi ha tanti minori che sono tutte le possibili sottomatrici 2x2.
Veniamo all'esempio:
Immaginiamo di avere una matrice 4x4
calcoliamo il suo determinante: Se il det è diverso da zero allora la matrice ha rango 4!
se il det è uguale a zero prendiamo tutte le possibili sottomatrici 3x3 e vediamo se almeno (e sottolineo "almeno") una di queste sottomatrici ha determinante diverso da zero. Se anche solo una ha det diverso da zero allora il rango è 3.
Se tutte hanno det =0 allora prendiamo le sottomatrici 2x2 e facciamo lo stesso procedimento. Se anche tutte le sottomatrici 2x2 hanno det=0 allora il rango è 1!
Solo una matrice nulla ha rango 0.
Spero di averlo spiegato in modo chiaro
no, il rango e la dimensione sono due cose diverse. Il rango è il numero di righe linearmente indipendenti
ti spiego come calcolarlo: ci sono tanti metodi, io sinceramente mi trovo comodo con 2 di questi:
1) metodo della matrice a gradini
usando l'algoritmo di Gauss riduci la tua matrice di partenza ad una matrice a gradini (ovviamente per righe)
Quando l'hai ridotta a gradini, con il minor numero possibile di gradini, vedi quante righe non hanno tutti zeri. Il numero di righe che non tutte nulle è il rango.
2) metodo dei minori (quello che preferisco)
vediamolo con un esempio
Per prima cosa ricordiamo che il rango di una matrice qualsiasi (anche non quadrata) può essere al massimo pari alla sua dimensione minore, ovvero se hai una matrice 4x3, il rango potrà essere al massimo 3, se hai una 2x5 il rango sarà al massimo 2, etc
Il rango è dato dalla dimensione massima di un minore con determinante non nullo. I minori sono le sottomatrici quadrate compresa la matrice di partenza. Ovvero una matrice 3x3 ha un primo minore che è la matrice stessa, e poi ha tanti minori che sono tutte le possibili sottomatrici 2x2.
Veniamo all'esempio:
Immaginiamo di avere una matrice 4x4
calcoliamo il suo determinante: Se il det è diverso da zero allora la matrice ha rango 4!
se il det è uguale a zero prendiamo tutte le possibili sottomatrici 3x3 e vediamo se almeno (e sottolineo "almeno") una di queste sottomatrici ha determinante diverso da zero. Se anche solo una ha det diverso da zero allora il rango è 3.
Se tutte hanno det =0 allora prendiamo le sottomatrici 2x2 e facciamo lo stesso procedimento. Se anche tutte le sottomatrici 2x2 hanno det=0 allora il rango è 1!
Solo una matrice nulla ha rango 0.
Spero di averlo spiegato in modo chiaro
ok quindi era diagonalizzabile e la dimensione è data dal numero di valori all' interno del vettore esatto?
Inoltre mi permetto di chiederti se prendendo una spazio vettoriale L(W) generato dalla famiglia
W= u1(3,1,2,1),u2(3,1,1,-2),u3(1,1,0,1),u4(-1,-2,1,1),u5(2,-3,1,2)u6(1,2,0,-1) il concetto resta lo stesso ? Cioè anche in questo caso abbiamo che la dimensione di uno sottospazio è data dal numero di elementi all' interno del vettore.
Grazie
Inoltre mi permetto di chiederti se prendendo una spazio vettoriale L(W) generato dalla famiglia
W= u1(3,1,2,1),u2(3,1,1,-2),u3(1,1,0,1),u4(-1,-2,1,1),u5(2,-3,1,2)u6(1,2,0,-1) il concetto resta lo stesso ? Cioè anche in questo caso abbiamo che la dimensione di uno sottospazio è data dal numero di elementi all' interno del vettore.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo