Matrice Diagonalizzabile
Ciao a tutti!!! Ho un problema concettuale 
Un esercizio mi chiede per quali valori di $\beta$ una data matrice 4x4 è diagonalizzabile.
Ho trovato gli autovalori (tra parentesi metto la molteplicità algebrica) $\lambda_1 = 0 (1), \lambda_2 = 2 (2), \lambda_3 = \beta (1)$
Adesso, per la diagonalizzazione ho che la somma delle molteplicità algebriche deve essere uguale e 4.
Le m.g. di beta e 0 sono 1, adesso il problema è la molteplicità di 2
faccio la matrice $(A-2I)$ e qui escono i problemi...
La matrice ha rango 3, e quindi la soluzione mi dice che ha molteplicità geometrica 1.
Perchè?? che correlazione ha il rango della matrice con la molteplicità geometrica? e che rango avrebbe dovuto avere affinchè la mg. fosse stata 2??
Grazie mille
Un esercizio mi chiede per quali valori di $\beta$ una data matrice 4x4 è diagonalizzabile.
Ho trovato gli autovalori (tra parentesi metto la molteplicità algebrica) $\lambda_1 = 0 (1), \lambda_2 = 2 (2), \lambda_3 = \beta (1)$
Adesso, per la diagonalizzazione ho che la somma delle molteplicità algebriche deve essere uguale e 4.
Le m.g. di beta e 0 sono 1, adesso il problema è la molteplicità di 2
faccio la matrice $(A-2I)$ e qui escono i problemi...
La matrice ha rango 3, e quindi la soluzione mi dice che ha molteplicità geometrica 1.
Perchè?? che correlazione ha il rango della matrice con la molteplicità geometrica? e che rango avrebbe dovuto avere affinchè la mg. fosse stata 2??
Grazie mille
Risposte
La molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda$ è la dimensione dell'autospazio a lui stesso relativo. L'autospazio considerato risulta essere il ker di $A - \lambda I$.
Nel tuo caso $A$ è di ordine $4 \times 4$, affinché la dimensione del ker di $A - \lambda I$ sia $2$ è necessario e sufficiente che il rango di $A - \lambda I$ sia $2$ (th. di nullità + rango).
Nel tuo caso $A$ è di ordine $4 \times 4$, affinché la dimensione del ker di $A - \lambda I$ sia $2$ è necessario e sufficiente che il rango di $A - \lambda I$ sia $2$ (th. di nullità + rango).
Grazie mille non ci avevo evidentemente ragionato abbastanza gentilissimo
non ci avevo evidentemente ragionato abbastanza gentilissimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo