Matrice diagonalizzabile

[reggerg]

Salve, volevo sapere se una matrice non simmetrica è sempre non diagonalizzabile e viceversa. Se non vado errato posso vedere la diagonalizzabilità se ottengo autovalori distinti e, se non sono distinti, se la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica, altrimenti potrei anche usare i cerchi di gershgorin (se non sbaglio). Però mi servirebbe un modo pià immediato per dire se è diagonalizzabile o no, si può fare attraverso la simmetria? Grazie!

[Cannelloni1]

Assolutamente no! La classe delle matrici diagonalizzabili contiene anche matrici non simmetriche, per esempio
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 10 & 0 & 0\\
0 & 0 & 100 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1000
\end{pmatrix}
\]

Per capire al volo che questa è diagonalizzabile puoi usare proprio i cerchi di Gershgorin

[reggerg]

"Cannelloni":Assolutamente no! La classe delle matrici diagonalizzabili contiene anche matrici non simmetriche, per esempio
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 10 & 0 & 0\\
0 & 0 & 100 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1000
\end{pmatrix}
\]

Per capire al volo che questa è diagonalizzabile puoi usare proprio i cerchi di Gershgorin

ok grazie mille, se mi da tutti cerchi in posizioni diverse, quindi con autovalori diversi, è diagonalizzabile?

[j18eos]

Se una matrice di ordine \(\displaystyle n\) ha esattamente \(\displaystyle n\) autovalori distinti allora è diagonalizzabile.

Riesci a capire il perché?