Matrice Diagonalizzabile
Si consideri l'applicazione lineare F: R2 --> R2 f(e1)= -9e1 + 5e2; f(e2)= Ke1 - 9e2
a) Si determini per quali valori di K è diagonalizzabile
b) Scelto un valore di K per cui è diagonalizzabile si trovi una base B in cui la matrice associata ad F sia diagonale. Tale base è unica?
Il primo punto mi viene la matrice
A= -9 K
5 -9
Usando il polinomio caratteristico ho calcolato il determinante e mi viene ( x^2 + 18x + 81 -5k ), quindi con k diverso da 0 la matrice è diagonalizzabile, con x = -9 m.a. = 2. Giusto?
Il secondo punto invece non riesco a capire i passaggi. Grazie per l'aiuto.
Sergio
a) Si determini per quali valori di K è diagonalizzabile
b) Scelto un valore di K per cui è diagonalizzabile si trovi una base B in cui la matrice associata ad F sia diagonale. Tale base è unica?
Il primo punto mi viene la matrice
A= -9 K
5 -9
Usando il polinomio caratteristico ho calcolato il determinante e mi viene ( x^2 + 18x + 81 -5k ), quindi con k diverso da 0 la matrice è diagonalizzabile, con x = -9 m.a. = 2. Giusto?
Il secondo punto invece non riesco a capire i passaggi. Grazie per l'aiuto.
Sergio
Risposte
Nessuno che riesce a darmi una mano?
La matrice associata alla applicazione rispetto alla scelta di base \(\{e_1, e_2\}\) in partenza ed in arrivo è la seguente:
\( \left(\begin{array}{cc}
-9 & k \\
5 & -9 \\
\end{array}\right)\)
Poiché il polinomio caratteristico è sempre nella forma:
\( P( λ) = (-1)^{n}λ^{n} + (-1)^{n-1}tr(A) + ... + det(A) \)
nel caso di una 2x2 lo si determina in maniera semplice: si ha infatti che nella fattispecie:
\(tr(A) = -18\)
\(det(A) = 81 - 5k\)
da cui
\(P( λ) = λ^2 + 18 λ + 81 - 5k \)
Si hanno eventualmente problemi di diagonalizzabilità nel caso in cui il polinomio caratteristico ha 0 radici reali, oppure ne ha due coincidenti. Questo avviene se il discriminante di questa equazione di secondo grado è minore di 0:
\(324 - 4(1)(81 -5k) < 0 \to 324 - 324 + 20k < 0 \to 20k < 0 \to k < 0\)
Se k < 0 l'applicazione è sicuramente non diagonalizzabile. Se k = 0, invece, si hanno 2 autovalori coincidenti ed è necessario indagare più a fondo, trovando esplicitamente l'autospazio relativo all'unico autovalore, per vedere se la molteplicità geometrica è sufficiente per diagonalizzare. In particolare se k = 0, il polinomio caratteristico diviene:
\(P( λ) = λ^2 + 18 λ + 81 \)
che ha come unica radice reale \(λ = -9 \)
La matrice \(A - (-9)I\) è a questo punto (ricordando di avere scelto k = 0):
\( \left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
5 & 0 \\
\end{array}\right)\)
che ammette come unico autovettore \( (0,1) \), l'applicazione non è allora diagonalizzabile.
Riepilogando le conclusioni:
\( k > 0: Diagonalizzabile\) (2 autovalori distinti)
\( k = 0: Non\) \(diagonalizzabile\) (1 autovalore con molteplicità algebrica 2, geometrica 1)
\( k < 0: Non\) \( diagonalizzabile\) (Nessuna radice reale del polinomio caratteristico)
Per il punto 2 invece, la risposta è chiaramente NO: gli autospazi sono dei sottospazi vettoriali, per cui, ad esempio assegnato un autospazio, sostituendo dei vettori nella base con dei vettori a loro paralleli, ottieni nuovamente una base, ma composta da elementi diversi. Poiché gli elementi che compongono tale base sono ancora una volta autovettori, la matrice associata all'applicazione rispetto alla scelta della nuova base, in partenza e in arrivo, è sempre la matrice che ha per elementi sulla diagonale gli autovalori. Infatti se \(f: V \to V\) è una applicazione lineare, con \(\{v_1, v_2, ... v_n\}\) una base di autovettori, si ha che:
\(f(v_i) = λ_i v_i = 0 v_1 + 0 v_2+ ... + 0v_{i-1} + λ_iv_i+ 0v_{i+1} + ... + 0v_n \)
Cioè ha componenti nulle al di fuori dell'elemento in posizione i. Ne segue che la matrice ottenuta incolonnando le immagini degli elementi della base è una matrice che ha tutti 0 al di fuori degli elementi per cui l'indice di riga coincide con quello di colonna, cioè quello in posizione \(i, i\)
Per visualizzare nella pratica, riprendiamo l'esempio di prima: scelta \(k = 5\), si ha che \( λ_1 = -14, λ_2 = -4 \) con autospazi generati da (rispettivamente) \( (-1, 1), (1, 1) \)
Supponiamo che questa sia la matrice associata rispetto alla base canonica:
\( \left(\begin{array}{cc}
-9 & 5 \\
5 & -9 \\
\end{array}\right)\)
Allora l'immagine di un generico elemento è: \(f(x, y) = (-9x + 5y, 5x - 9y )\)
Calcoliamo l'immagine di \((1, 1)\): questa è \((-4, -4) = -4(1, 1) \). Rispetto alla base \(\{(1, 1), (-1, 1)\}\) questo ha componenti \( -4, 0 \). L'immagine di \((-1, 1)\) è invece \((14, -14) = -14( -1, 1) \). Rispetto alla stessa base di prima ha componenti \((0, -14)\). La matrice associata risulta dunque essere:
\( \left(\begin{array}{cc}
-4 & 0 \\
0 & -14 \\
\end{array}\right)\)
Una base formata da autovettori è anche: \( \{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}\)
L'immagine di \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\) è \((-\frac{4}{\sqrt{2}}, -\frac{4}{\sqrt{2}}) = -4(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\), che rispetto alla nuova base può essere scritto come \((-4, 0)\)
Analogamente l'immagine di \( (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\) è \((\frac{14}{\sqrt{2}}, -\frac{14}{\sqrt{2}}) = -14(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\), che rispetto alla nuova base può essere scritto come \((0, -14)\)
La matrice associata rispetto alla nuova base è
\( \left(\begin{array}{cc}
-4 & 0 \\
0 & -14 \\
\end{array}\right)\)
Che è uguale alla precedente.
Due basi di autovettori diverse, cioè
[size=150]\(\{(1, 1), (-1, 1)\}\)
\( \{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}\)[/size]
sono associate alla medesima matrice.
\( \left(\begin{array}{cc}
-9 & k \\
5 & -9 \\
\end{array}\right)\)
Poiché il polinomio caratteristico è sempre nella forma:
\( P( λ) = (-1)^{n}λ^{n} + (-1)^{n-1}tr(A) + ... + det(A) \)
nel caso di una 2x2 lo si determina in maniera semplice: si ha infatti che nella fattispecie:
\(tr(A) = -18\)
\(det(A) = 81 - 5k\)
da cui
\(P( λ) = λ^2 + 18 λ + 81 - 5k \)
Si hanno eventualmente problemi di diagonalizzabilità nel caso in cui il polinomio caratteristico ha 0 radici reali, oppure ne ha due coincidenti. Questo avviene se il discriminante di questa equazione di secondo grado è minore di 0:
\(324 - 4(1)(81 -5k) < 0 \to 324 - 324 + 20k < 0 \to 20k < 0 \to k < 0\)
Se k < 0 l'applicazione è sicuramente non diagonalizzabile. Se k = 0, invece, si hanno 2 autovalori coincidenti ed è necessario indagare più a fondo, trovando esplicitamente l'autospazio relativo all'unico autovalore, per vedere se la molteplicità geometrica è sufficiente per diagonalizzare. In particolare se k = 0, il polinomio caratteristico diviene:
\(P( λ) = λ^2 + 18 λ + 81 \)
che ha come unica radice reale \(λ = -9 \)
La matrice \(A - (-9)I\) è a questo punto (ricordando di avere scelto k = 0):
\( \left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
5 & 0 \\
\end{array}\right)\)
che ammette come unico autovettore \( (0,1) \), l'applicazione non è allora diagonalizzabile.
Riepilogando le conclusioni:
\( k > 0: Diagonalizzabile\) (2 autovalori distinti)
\( k = 0: Non\) \(diagonalizzabile\) (1 autovalore con molteplicità algebrica 2, geometrica 1)
\( k < 0: Non\) \( diagonalizzabile\) (Nessuna radice reale del polinomio caratteristico)
Per il punto 2 invece, la risposta è chiaramente NO: gli autospazi sono dei sottospazi vettoriali, per cui, ad esempio assegnato un autospazio, sostituendo dei vettori nella base con dei vettori a loro paralleli, ottieni nuovamente una base, ma composta da elementi diversi. Poiché gli elementi che compongono tale base sono ancora una volta autovettori, la matrice associata all'applicazione rispetto alla scelta della nuova base, in partenza e in arrivo, è sempre la matrice che ha per elementi sulla diagonale gli autovalori. Infatti se \(f: V \to V\) è una applicazione lineare, con \(\{v_1, v_2, ... v_n\}\) una base di autovettori, si ha che:
\(f(v_i) = λ_i v_i = 0 v_1 + 0 v_2+ ... + 0v_{i-1} + λ_iv_i+ 0v_{i+1} + ... + 0v_n \)
Cioè ha componenti nulle al di fuori dell'elemento in posizione i. Ne segue che la matrice ottenuta incolonnando le immagini degli elementi della base è una matrice che ha tutti 0 al di fuori degli elementi per cui l'indice di riga coincide con quello di colonna, cioè quello in posizione \(i, i\)
Per visualizzare nella pratica, riprendiamo l'esempio di prima: scelta \(k = 5\), si ha che \( λ_1 = -14, λ_2 = -4 \) con autospazi generati da (rispettivamente) \( (-1, 1), (1, 1) \)
Supponiamo che questa sia la matrice associata rispetto alla base canonica:
\( \left(\begin{array}{cc}
-9 & 5 \\
5 & -9 \\
\end{array}\right)\)
Allora l'immagine di un generico elemento è: \(f(x, y) = (-9x + 5y, 5x - 9y )\)
Calcoliamo l'immagine di \((1, 1)\): questa è \((-4, -4) = -4(1, 1) \). Rispetto alla base \(\{(1, 1), (-1, 1)\}\) questo ha componenti \( -4, 0 \). L'immagine di \((-1, 1)\) è invece \((14, -14) = -14( -1, 1) \). Rispetto alla stessa base di prima ha componenti \((0, -14)\). La matrice associata risulta dunque essere:
\( \left(\begin{array}{cc}
-4 & 0 \\
0 & -14 \\
\end{array}\right)\)
Una base formata da autovettori è anche: \( \{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}\)
L'immagine di \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\) è \((-\frac{4}{\sqrt{2}}, -\frac{4}{\sqrt{2}}) = -4(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\), che rispetto alla nuova base può essere scritto come \((-4, 0)\)
Analogamente l'immagine di \( (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\) è \((\frac{14}{\sqrt{2}}, -\frac{14}{\sqrt{2}}) = -14(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\), che rispetto alla nuova base può essere scritto come \((0, -14)\)
La matrice associata rispetto alla nuova base è
\( \left(\begin{array}{cc}
-4 & 0 \\
0 & -14 \\
\end{array}\right)\)
Che è uguale alla precedente.
Due basi di autovettori diverse, cioè
[size=150]\(\{(1, 1), (-1, 1)\}\)
\( \{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}\)[/size]
sono associate alla medesima matrice.
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