Matrice diagonalizzabile
$A=((1,2,0),(2,1,0),(2,-2,3))$ a voi viene diagonalizzabile?
Risposte
Dunque, il polinomio caratteristico mi risulta :
$ -lambda^3+5lambda^2-3lambda-9 = 0 $
Le cui soluzioni sono $ lambda_1=3 $ $ lambda_2=3 $ $ lambda_3=-1 $
Dunque -1 ha molteplicità algebrica 1 dunque la molteplicità geometrica è uguale a 1
3 ha molteplicità algebrica 2,ma facendo i conti mi viene molteplicità geometrica uguale a 1
essendo la molteplicità algebrica diversa da quella geometrica non mi risulta diagonalizzabile
A te cosa viene.
Edit: avevo sbagliato un calcolo,risulta diagonalizzabile
molteplicità geometrica e algebrica coincidono
$ -lambda^3+5lambda^2-3lambda-9 = 0 $
Le cui soluzioni sono $ lambda_1=3 $ $ lambda_2=3 $ $ lambda_3=-1 $
Dunque -1 ha molteplicità algebrica 1 dunque la molteplicità geometrica è uguale a 1
3 ha molteplicità algebrica 2,ma facendo i conti mi viene molteplicità geometrica uguale a 1
essendo la molteplicità algebrica diversa da quella geometrica non mi risulta diagonalizzabile
A te cosa viene.
Edit: avevo sbagliato un calcolo,risulta diagonalizzabile
molteplicità geometrica e algebrica coincidono
"Gio2312":
Dunque, il polinomio caratteristico mi risulta :
$ -lambda^3+5lambda^2-3lambda-9 = 0 $
Le cui soluzioni sono $ lambda_1=3 $ $ lambda_2=3 $ $ lambda_3=-1 $
Dunque -1 ha molteplicità algebrica 1 dunque la molteplicità geometrica è uguale a 1
3 ha molteplicità algebrica 2,ma facendo i conti mi viene molteplicità geometrica uguale a 1
essendo la molteplicità algebrica diversa da quella geometrica non mi risulta diagonalizzabile
A te cosa viene.
Edit: avevo sbagliato un calcolo,risulta diagonalizzabile
molteplicità geometrica e algebrica coincidono
viene diagonalizzabile anche a me, perchè la molteplicità geometrica di 3 è 2 che coincide con la molteplicità algebrica che è sempre 2
Sì infatti per l'autovalore $ lambda =3 $ l'autospazio relativo è del tipo $( a,a,b )$ che ha dim =2 e una base è ad esempio $(1,1,0),(0,0,1)$.
"Camillo":
Sì infatti per l'autovalore $ lambda =3 $ l'autospazio relativo è del tipo $( a,a,b )$ che ha dim =2 e una base è ad esempio $(1,1,0),(0,0,1)$.
Sisi, mentre la matrice $((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2))$ come vi viene ? A me sempre diagonalizzabile
"Fab996":
[quote="Camillo"]Sì infatti per l'autovalore $ lambda =3 $ l'autospazio relativo è del tipo $ ( a,a,b ) $ che ha dim =2 e una base è ad esempio $ (1,1,0),(0,0,1) $.
Sisi, mentre la matrice $ ((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2)) $ come vi viene ? A me sempre diagonalizzabile[/quote]
Sempre diagonalizzabile, comunque quando vuoi controllare dei risultati puoi usare l'utilissimo wolfram aplha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... %2F2%29%29
Usalo solo per controllare i risultati però eh,non ne abusare
"Gio2312":
[quote="Fab996"][quote="Camillo"]Sì infatti per l'autovalore $ lambda =3 $ l'autospazio relativo è del tipo $ ( a,a,b ) $ che ha dim =2 e una base è ad esempio $ (1,1,0),(0,0,1) $.
Sisi, mentre la matrice $ ((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2)) $ come vi viene ? A me sempre diagonalizzabile[/quote]
Sempre diagonalizzabile, comunque quando vuoi controllare dei risultati puoi usare l'utilissimo wolfram aplha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... %2F2%29%29
Usalo solo per controllare i risultati però eh,non ne abusare
[/quote]okok grazie, questo esercizio mi chiede se questa matrice $((4,2,0),(-3,-3,0),(1,3,1))$ mi chiede se la matrice è diagonalizzabile, la mia risposta è si perchè esistono tre autovalore distinti $1,3,-2$ poi chiede di determinare 3 autovettori indipendenti, prendo gli autovettori$(0,0,1) (-4,2,1) (3/8,-9/8,1)$ controllo se sono indipendenti mettendoli nella matrice $((0,0,1),(-4,2,1),(3/8,-9/8,1))$ mi viene però che il rango non è uguale al numero delle righe dato che ho messo i vettori come righe, quindi non sono indipendenti?
Sisi, mentre la matrice $ ((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2)) $ come vi viene ? A me sempre diagonalizzabile
Ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile. Anche non avendo fatto quel teorema, furbescamente, un po' disonestamente...
può essere comodo sapere questo fatto per controllare se abbiamo sbagliato
mi viene però che il rango non è uguale al numero delle righe dato che ho messo i vettori come righe, quindi non sono indipendenti?
Ricontrolla i conti, perché il determinante di quella matrice è diversa da zero e pertanto quei tre vettori sono indipendenti.
"Vulplasir":mi viene però che il rango non è uguale al numero delle righe dato che ho messo i vettori come righe, quindi non sono indipendenti?
Ricontrolla i conti, perché il determinante di quella matrice è diversa da zero e pertanto quei tre vettori sono indipendenti.
Si, il determinante infatti è diverso da 0, però la matrice messa a gradini mi viene $((0,0,1),(1,-1/2,-1/4),(0,1,-7/6))$ quindi rango = 2..
Spe, spe...come rango=2? quella matrice ha chiaramente rango=3...Vi sono 3 pivot...
"Vulplasir":
Spe, spe...come rango=2? quella matrice ha chiaramente rango=3...Vi sono 3 pivot...
sisi, ho sbagliato a ridurla a gradini , dovevo metterla in questa forma $((-4,2,1),(3/8,-9/8,1),(0,0,1))$
"Vulplasir":
Spe, spe...come rango=2? quella matrice ha chiaramente rango=3...Vi sono 3 pivot...
Un'ultima cosa, un esercizio di questo tipo come si risolve? Trovare una matrice 3 x 3 che abbia come autovettori i vettori $v=(0,1,-2) u=(1,1,-3) w = (1,0,1)$ associati rispettivamente agli atuovalori $2,0,-2$
Una matrice rappresenta una e una sola trasformazione lineare, inoltre tre autovettori associati ad autovalori distinti sono indipendenti, pertanto quei tre autovettori formano una base di $RR^3$, esiste ed è unica quindi la trasformazione lineare tale che:
$f(v_1)=lamda_1v_1$
$f(v_2)=lamda_2v_2$
$f(v_3)=lamda_3v_3$
dove i v sono gli autvettori e i lamda i rispettivi autovalori. Adesso devi trovare la matrice associata a questa trasformazione lineare.
$f(v_1)=lamda_1v_1$
$f(v_2)=lamda_2v_2$
$f(v_3)=lamda_3v_3$
dove i v sono gli autvettori e i lamda i rispettivi autovalori. Adesso devi trovare la matrice associata a questa trasformazione lineare.
"Vulplasir":
Una matrice rappresenta una e una sola trasformazione lineare, inoltre tre autovettori associati ad autovalori distinti sono indipendenti, pertanto quei tre autovettori formano una base di $RR^3$, esiste ed è unica quindi la trasformazione lineare tale che:
$f(v_1)=lamda_1v_1$
$f(v_2)=lamda_2v_2$
$f(v_3)=lamda_3v_3$
dove i v sono gli autvettori e i lamda i rispettivi autovalori. Adesso devi trovare la matrice associata a questa trasformazione lineare.
Io l'ho risolto in questo modo, la mia incognita è la matrice A, però conosco la matrice simile B composta dagli autovalori lungo la diagonale $((2,0,0),(0,0,0),(0,0,-2))$ conosco anche la matrice P che è composta lungo le colonne dagli autovettori di A $P=((0,1,1),(1,1,0),(-2,-3,1))$ per la relazione delle matrici simili $B=P^(-1)AP$ allora $A=PBP^(-1)$ trovo a $P^(-1)$ e svolgo i conti... è giusto anche così?
Si, giusto, mi pare anche più veloce da fare così
"Vulplasir":
Si, giusto, mi pare anche più veloce da fare così
Grazie mille!
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