Matrice diagonale simile
Salve a tutti
qualcuno saprebbe dirmi come si risolvono questa tipologia di esercizi? La mia idea era di trovare una base di autovettori e fare un cambiamento di base ma non mi è ben chiaro il procedimento da seguire.
http://imgur.com/a/B3zDC
i parametri sono a=b=2, dipendono dal codice di matricola!
qualcuno saprebbe dirmi come si risolvono questa tipologia di esercizi? La mia idea era di trovare una base di autovettori e fare un cambiamento di base ma non mi è ben chiaro il procedimento da seguire.
http://imgur.com/a/B3zDC
i parametri sono a=b=2, dipendono dal codice di matricola!
Risposte
ciao,
l'unica cosa da fare è proprio quello che hai detto !
Diagonalizzi la tua matrice trovando così una matrice $P$ formata da autovettori tale che $P^-1AP=B$, con $B diagonale$. Questo significa proprio che le due matrici sono simili.
P.S.: il testo dell'esercizio non è particolarmente lungo. E' meglio se lo scrivi per intero così da rendere il messaggio più accessibile a tutti
l'unica cosa da fare è proprio quello che hai detto !
Diagonalizzi la tua matrice trovando così una matrice $P$ formata da autovettori tale che $P^-1AP=B$, con $B diagonale$. Questo significa proprio che le due matrici sono simili.
P.S.: il testo dell'esercizio non è particolarmente lungo. E' meglio se lo scrivi per intero così da rendere il messaggio più accessibile a tutti
Scusami se non l' ho scritto direttamente ma non sono riuscito a capire come si inserivano le matrici qui sul sito!
Comunque, tornando all'esercizio: è proprio quello il mio problema, non riescoa capire come trovare una base di autovettori tale che $ P^-1 AP=B $!
Comunque, tornando all'esercizio: è proprio quello il mio problema, non riescoa capire come trovare una base di autovettori tale che $ P^-1 AP=B $!
1. Trova gli autovalori. Cioè gli zeri del polinomio caratterstico.
2. Trova gli autovettori. Cioè le soluzioni non banali di $(A-lambda_i I)*vec(v)=vec0$.
3. Controlla che $forall lambda_i$ la molteplicità algebrica sia uguale a quella geometrica.
Fatto ciò, una base di autovettori $P$ è data dalla matrice che ha per colonne questi autovettori.
2. Trova gli autovettori. Cioè le soluzioni non banali di $(A-lambda_i I)*vec(v)=vec0$.
3. Controlla che $forall lambda_i$ la molteplicità algebrica sia uguale a quella geometrica.
Fatto ciò, una base di autovettori $P$ è data dalla matrice che ha per colonne questi autovettori.
ok, quindi ho:
A=
|-63 -110|
|33 58|
$ det(A−λI)= λ^2 + 5λ -24 $
da cui ricavo che gli autovalori sono: λ= 3, -8
e che hanno entrambi molteciplità algebrica =1
poi per gli autovettori calcolo (A−λI)⋅v=0
-per λ=3 ho la matrice che diventa:
|-60 -110|
|33 61|
Il sistema
{-60x -110y = 0
{33x +58y=0
ha soluzione x=0 e y=0
La molteplicità geometrica è n-Rango(A−λI) = 2-2=0
-per λ=-8
|-71 -110|
|33 50|
col sistema ricavo che x=0 e y=0
La molteplicità geometrica è n-Rango(A−λI) = 2-2=0
Penso di star sbagliando qualcosa nel calcolo degli autovettori ma non capisco cosa
p.s.scusatemi per la formattazione terribile!
A=
|-63 -110|
|33 58|
$ det(A−λI)= λ^2 + 5λ -24 $
da cui ricavo che gli autovalori sono: λ= 3, -8
e che hanno entrambi molteciplità algebrica =1
poi per gli autovettori calcolo (A−λI)⋅v=0
-per λ=3 ho la matrice che diventa:
|-60 -110|
|33 61|
Il sistema
{-60x -110y = 0
{33x +58y=0
ha soluzione x=0 e y=0
La molteplicità geometrica è n-Rango(A−λI) = 2-2=0
-per λ=-8
|-71 -110|
|33 50|
col sistema ricavo che x=0 e y=0
La molteplicità geometrica è n-Rango(A−λI) = 2-2=0
Penso di star sbagliando qualcosa nel calcolo degli autovettori ma non capisco cosa
p.s.scusatemi per la formattazione terribile!
Il procedimento per calcolare gli autovettori è corretto, se non fosse che la tua matrice $A-lambda_i I$ è errata. Devi sottrarre 3 e non sommarlo.
Per $lambda=3$ la matrice diventa $ | ( -66 , -110 ),(33 , 55 ) | $ . Le soluzioni non banali sono $((-5xi)/3,xi)$, con $xi in RR$. Per semplificarci la vita, togliamoci la frazione ponendo $y=xi=3.$ Da cui abbiamo che un autovettore è $[-5,3]^T$
Per $lambda=3$ la matrice diventa $ | ( -66 , -110 ),(33 , 55 ) | $ . Le soluzioni non banali sono $((-5xi)/3,xi)$, con $xi in RR$. Per semplificarci la vita, togliamoci la frazione ponendo $y=xi=3.$ Da cui abbiamo che un autovettore è $[-5,3]^T$
ah giusto, che sbadato, grazie mille!
anche per l'altro autovalore (-8) ho fatto un errore ed effettivamente l'autovettore porta (-2,1) e ora la molteplicità geometrica è uguale alla molteplicità algebrica.
Un'ultima cosa: ora che ho la mia base
|-5 -2|
|3 1|
come vado effettivamente a trovare la matrice B simile ad A e diagonalizzata? so che devo fare un cambiamento di base ma non so quale prendere (quella canonica ((1,0),(0,1))?) e in ogni caso si deve solo trovare la matrice del cambiamento di base da quella vecchia alla base di autovettori?
anche per l'altro autovalore (-8) ho fatto un errore ed effettivamente l'autovettore porta (-2,1) e ora la molteplicità geometrica è uguale alla molteplicità algebrica.
Un'ultima cosa: ora che ho la mia base
|-5 -2|
|3 1|
come vado effettivamente a trovare la matrice B simile ad A e diagonalizzata? so che devo fare un cambiamento di base ma non so quale prendere (quella canonica ((1,0),(0,1))?) e in ogni caso si deve solo trovare la matrice del cambiamento di base da quella vecchia alla base di autovettori?
UP
scusate per l'up ma ho l'esame fra pochi giorni e sono veramente incasinato ^^
scusate per l'up ma ho l'esame fra pochi giorni e sono veramente incasinato ^^
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