Matrice diagonale e diagonalizzante
Cerco solo una conferma di quanto fatto, vi riporto la soluzione dell'esercizio. Grazie.
$f(x,y,z,t) = (x+z-2t,2y,x+z+2t,2t)$
La matrice associata all'endomorfismo è:
$A = ((1,0,1,-2),(0,2,0,0),(1,0,1,2),(0,0,0,2))$
Polinomio caratteristico $det(A-\lambdaI_n)$ = $[(1-\lambda,0,1,-2),(0,2-\lambda,0,0),(1,0,1-\lambda,2),(0,0,0,2-\lambda)]$=
=$-(2-\lambda)*[(1-\lambda,0,1),(0,2-\lambda,0),(1,0,1-\lambda)]$=
=$-(2-\lambda)*((1-\lambda)*([((2-\lambda),0),(0,1-\lambda)]) +[(0,2-\lambda),(1,0)])$=
=$-(2-\lambda)*((1-\lambda)^2 *(2-\lambda) - (2-\lambda))$=
=$-(2-\lambda)^2 * ((1-\lambda)^2 -1)$ =
=$-(2-\lambda)^2 * (1 +\lambda^2 -2\lambda -1)$ =
=$-(2-\lambda)^2 * (\lambda^2 -2\lambda)$ =
=$\lambda(2-\lambda)^3$
Gli autovalori sono:
$\lambda_1 = 0$ (singolo) m.a. = 1
$\lambda_2 = 2$ (triplo) m.a. = 3
L'autospazio di $\lambda_1$ è il Ker(f), che ha dimensione uguale ad 1. => M.G = 1
L'autospazio di $\lambda_2$ è la soluzione di:
$V_(\lambda_2) = ((-1,0,1,-2),(0,0,0,0),(1,0,-1,2),(0,0,0,0))*((x),(y),(z),(t)) = ((0),(0),(0),(0))$
Essendo la matrice sopra riportata di $\rho(V_(\lambda_2)) = 1$ ha M.G $\ne$ M.A. cioè 1 $\ne$ 3
La diagonale sarebbe composta in $a_(i,j), i=j per i,j = 1...4$ dagli autovalori trovati, giusto?...
Mentre la matrice diagonalizzante, che in questo caso non esiste(dato che M.A. $\ne$ M.G. per $\lambda_2$), dagli autovalori nelle colonne. Giusto?
$f(x,y,z,t) = (x+z-2t,2y,x+z+2t,2t)$
La matrice associata all'endomorfismo è:
$A = ((1,0,1,-2),(0,2,0,0),(1,0,1,2),(0,0,0,2))$
Polinomio caratteristico $det(A-\lambdaI_n)$ = $[(1-\lambda,0,1,-2),(0,2-\lambda,0,0),(1,0,1-\lambda,2),(0,0,0,2-\lambda)]$=
=$-(2-\lambda)*[(1-\lambda,0,1),(0,2-\lambda,0),(1,0,1-\lambda)]$=
=$-(2-\lambda)*((1-\lambda)*([((2-\lambda),0),(0,1-\lambda)]) +[(0,2-\lambda),(1,0)])$=
=$-(2-\lambda)*((1-\lambda)^2 *(2-\lambda) - (2-\lambda))$=
=$-(2-\lambda)^2 * ((1-\lambda)^2 -1)$ =
=$-(2-\lambda)^2 * (1 +\lambda^2 -2\lambda -1)$ =
=$-(2-\lambda)^2 * (\lambda^2 -2\lambda)$ =
=$\lambda(2-\lambda)^3$
Gli autovalori sono:
$\lambda_1 = 0$ (singolo) m.a. = 1
$\lambda_2 = 2$ (triplo) m.a. = 3
L'autospazio di $\lambda_1$ è il Ker(f), che ha dimensione uguale ad 1. => M.G = 1
L'autospazio di $\lambda_2$ è la soluzione di:
$V_(\lambda_2) = ((-1,0,1,-2),(0,0,0,0),(1,0,-1,2),(0,0,0,0))*((x),(y),(z),(t)) = ((0),(0),(0),(0))$
Essendo la matrice sopra riportata di $\rho(V_(\lambda_2)) = 1$ ha M.G $\ne$ M.A. cioè 1 $\ne$ 3
La diagonale sarebbe composta in $a_(i,j), i=j per i,j = 1...4$ dagli autovalori trovati, giusto?...
Mentre la matrice diagonalizzante, che in questo caso non esiste(dato che M.A. $\ne$ M.G. per $\lambda_2$), dagli autovalori nelle colonne. Giusto?
Risposte
Ma se il rango della matrice è $1$, vuol dire che l'autospazio associato è $n-r=4-1=3$ e quindi è regolare, attenzione.
In sostanza il sistema si riduce all'unica equazione: $x-z+2t=0$, questo rappresenta un sottospazio vettoriale di dimensione $3$. Il tuo autovalore è regolare.
In sostanza il sistema si riduce all'unica equazione: $x-z+2t=0$, questo rappresenta un sottospazio vettoriale di dimensione $3$. Il tuo autovalore è regolare.
Uuuh! Giusto! Eh, la fretta cosa combina 
Per il resto calcoli/"ragionamenti" ti trovi con me? Ieri l'ho fatto all'esame scritto, e ovviamente per andare di fretta, ho sbagliato il polinomio caratteristico... -.-" Grazie per avermi aperto gli occhi su questa svista. 
Per il resto calcoli/"ragionamenti" ti trovi con me? Ieri l'ho fatto all'esame scritto, e ovviamente per andare di fretta, ho sbagliato il polinomio caratteristico... -.-" Grazie per avermi aperto gli occhi su questa svista.
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