Matrice di Vandermonde generalizzata
Ciao a tutti. Ho il seguente problema. Consideriamo la matrice di Vandermonde generalizzata
$ (GV)_n = (\phi _k (z_j)) $
dove $\phi _0, \cdots , \phi _n$ sono funzioni linearmente indipendenti in $\mathbb{C}$ e $z_0, \cdots , z_n$ sono punti distinti.
Dovrei dimostrare che, anche se i punti sono distinti, la matrice non è detto che sia invertibile. Prima di tutto vorrei capire quali sono gli elementi della matrice: non riesco a capire, per esempio, se è $\phi _0 (z_o^2)$ o $(\phi _0 (z_o))^2$ e se le funzioni variano da colonna a colonna o da riga a riga. Ho un idea per la dimostrazione: so che infatti avere punti distinti non implica automaticamente che la matrice sia invertibile come succede per la matrice di Vandermonde standard. Infatti, potrei prendere funzioni pari che hanno lo stesso valore in punti distinti ma non so come effettivamente scrivere questo in termini matematici. Penso tuttavia che portare un controesempio, come quello appena scritto, sia sufficiente per la dimostrazione. Grazie.
$ (GV)_n = (\phi _k (z_j)) $
dove $\phi _0, \cdots , \phi _n$ sono funzioni linearmente indipendenti in $\mathbb{C}$ e $z_0, \cdots , z_n$ sono punti distinti.
Dovrei dimostrare che, anche se i punti sono distinti, la matrice non è detto che sia invertibile. Prima di tutto vorrei capire quali sono gli elementi della matrice: non riesco a capire, per esempio, se è $\phi _0 (z_o^2)$ o $(\phi _0 (z_o))^2$ e se le funzioni variano da colonna a colonna o da riga a riga. Ho un idea per la dimostrazione: so che infatti avere punti distinti non implica automaticamente che la matrice sia invertibile come succede per la matrice di Vandermonde standard. Infatti, potrei prendere funzioni pari che hanno lo stesso valore in punti distinti ma non so come effettivamente scrivere questo in termini matematici. Penso tuttavia che portare un controesempio, come quello appena scritto, sia sufficiente per la dimostrazione. Grazie.
Risposte
Credo che semplicemente si scelgano funzioni linearmente indipendenti distinte (cosi' come le potenze successive sono funzioni linearmente indipendenti distinte).
Non so quale e' la convenzione che segui: per me l'entrata $(i,j)$-esima della matrice di Vandermonde ($i$ e' indice di riga e $j$ e' indice di colonna) e' $x_i^(j-1)$ (quindi, le potenze variano cambiando colonna - la prima colonna e' una colonna di $1$).
Definirei dunque una Vandermonde generalizzata come la matrice la cui entrata $(i,j)$-esima e' $\phi_j(x_i)$, con $\phi_j$ funzioni linearmente indipdenti distinte. In particolare la Vandermonde standard si ottiene con $\phi_j(x) = x^{j-1}$. Un esempio piccolino: prendiamo una matrice $2 \times 2$ con $\phi_1 = \sin$, $\phi_2 = \cos$ e $x_1 = 0$, $x_2 = \pi$: in questo caso la matrice che ottieni non e' invertibile.
Ma ci sono esempi che usano proprio potenze come la Vandermonde classica, che pero' non sono consecutive. Vedi ad esempio qui.
Non so quale e' la convenzione che segui: per me l'entrata $(i,j)$-esima della matrice di Vandermonde ($i$ e' indice di riga e $j$ e' indice di colonna) e' $x_i^(j-1)$ (quindi, le potenze variano cambiando colonna - la prima colonna e' una colonna di $1$).
Definirei dunque una Vandermonde generalizzata come la matrice la cui entrata $(i,j)$-esima e' $\phi_j(x_i)$, con $\phi_j$ funzioni linearmente indipdenti distinte. In particolare la Vandermonde standard si ottiene con $\phi_j(x) = x^{j-1}$. Un esempio piccolino: prendiamo una matrice $2 \times 2$ con $\phi_1 = \sin$, $\phi_2 = \cos$ e $x_1 = 0$, $x_2 = \pi$: in questo caso la matrice che ottieni non e' invertibile.
Ma ci sono esempi che usano proprio potenze come la Vandermonde classica, che pero' non sono consecutive. Vedi ad esempio qui.
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