Matrice di Van der Monde
Ciao a tutti,
chiedo aiuto ai matematici...perchè non riesco a capire i passaggi che portano al determinante di questa matrice(premetto che ad analisi non l'ho studiata).
E' fatta in questo modo:
$[[1,1,1],[\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3],[\sigma_1^2,\sigma_2^2,\sigma_3^2]]\ \cdot \ [[n_1^2],[n_2^2],[n_3^2]]=[[1],[\sigma_n],[\sigma_n^2+\tau^2]]$
e risolvendo il sistema (ad es con Cramer) il buon senso mi direbbe che il determinante si faccia comunente come serie di prodotti e somme di complementi algebrici....invece il libro porta subito a questa conclusione:
$det=(\sigma_1-\sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_3)$
Mi piacerebbe capire in che modo lo fattorizza...
Stessa cosa per questa equazione:
$\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_2)(\sigma_n-\sigma_3)=0$
diventa:
$\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_2+\sigma_3}{2})^2=(\frac{\sigma_2-\sigma_3}{2})^2$
grazie
chiedo aiuto ai matematici...perchè non riesco a capire i passaggi che portano al determinante di questa matrice(premetto che ad analisi non l'ho studiata).
E' fatta in questo modo:
$[[1,1,1],[\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3],[\sigma_1^2,\sigma_2^2,\sigma_3^2]]\ \cdot \ [[n_1^2],[n_2^2],[n_3^2]]=[[1],[\sigma_n],[\sigma_n^2+\tau^2]]$
e risolvendo il sistema (ad es con Cramer) il buon senso mi direbbe che il determinante si faccia comunente come serie di prodotti e somme di complementi algebrici....invece il libro porta subito a questa conclusione:
$det=(\sigma_1-\sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_3)$
Mi piacerebbe capire in che modo lo fattorizza...
Stessa cosa per questa equazione:
$\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_2)(\sigma_n-\sigma_3)=0$
diventa:
$\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_2+\sigma_3}{2})^2=(\frac{\sigma_2-\sigma_3}{2})^2$
grazie
Risposte
Il determinante della matrice di Vandermonde è quello che ha scritto il libro, ma non si dimostra fattorizzando il polinomio caratteristico (anche perché il determinante di Vandermonde vale per ogni n - con n = numero di righe della matrice). In realtà si dimostra per induzione: su wikipedia c'è un'ottima dimostrazione.
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_Vandermonde
Per l'equazione, l'ultimo passaggio mi lascia un po' sconvolto, quello prima torna...
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_Vandermonde
Per l'equazione, l'ultimo passaggio mi lascia un po' sconvolto, quello prima torna...
Grazie per il riferimento, ho dato un'occhiata e per il teorema in oggetto il determinante torna...ma se lo faccio seguendo il teorema di Van der Monde o lo faccio normalmente alla fine il risultato dovrebbe essere lo stesso...quello che non capisco è come fare (attraverso sicuramente qualche fattorizzazione) a passare dalla forma normale del determinante(cioè calcolato come fosse una matrice normale) a quella di van der monde.
Stessa cosa per la manipolazione di quell'ultima equazione....
grazie mille.
Stessa cosa per la manipolazione di quell'ultima equazione....
grazie mille.
Beh puoi provare a dimostrarlo svolgendo i calcoli: sai che una matrice di Van Der Monde ha quel determinante li, svolgi i calcoli e verifichi che sia esattamente lo sviluppo della matrice. Questo però può essere noioso, e soprattutto credo sia inutile farlo...
Sarò ignorante ma il mio problema è che non capisco le operazioni matematiche per passare da un determinante all'altro...
questo
$(\sigma_2\sigma_3^2-\sigma_2^2\sigma_3)+(\sigma_1^2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3^2)+(\sigma_1\sigma_2^2-\sigma_1^2\sigma_2)$
deve essere uguale a questo:
$(\sigma_1-1sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_3)$
Ma in che modo lo fattorizzo per arrivare al secondo?
questo
$(\sigma_2\sigma_3^2-\sigma_2^2\sigma_3)+(\sigma_1^2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3^2)+(\sigma_1\sigma_2^2-\sigma_1^2\sigma_2)$
deve essere uguale a questo:
$(\sigma_1-1sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_3)$
Ma in che modo lo fattorizzo per arrivare al secondo?
"ELWOOD":
Sarò ignorante ma il mio problema è che non capisco le operazioni matematiche per passare da un determinante all'altro...
questo
$(\sigma_2\sigma_3^2-\sigma_2^2\sigma_3)+(\sigma_1^2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3^2)+(\sigma_1\sigma_2^2-\sigma_1^2\sigma_2)$
deve essere uguale a questo:
$(\sigma_1-1sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_3)$
Ma in che modo lo fattorizzo per arrivare al secondo?
Fai il procedimento al contrario. Hai il determinante di Vandermonde, ovvero:
$(\sigma_1-1sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_3)$
Ora svolgi i prodotti, e arrivi proprio a
$(\sigma_2\sigma_3^2-\sigma_2^2\sigma_3)+(\sigma_1^2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3^2)+(\sigma_1\sigma_2^2-\sigma_1^2\sigma_2)$
Ora non ti resta che guardare le righe che hai scritto per svolgere i calcoli dal basso verso l'alto, ovvero come se tu, partendo dal determinante normale, avessi fattorizzato.
Per quanto riguarda l'equazione che non riuscivi a capire come fosse fattorizzata, per caso quando hai scritto $r_n^2$, non è che volevi scrivere $\sigma_n^2$?
ok grazie della dritta....certo è piu semplice questa strada qua 
Per l'equazione non capisco dove tu abbia letto $r_n^2$...forse l'hai confuso con $\tau_n^2$
Comunque è giusta come l'ho scritta così....quell'equazione deriva dalla risoluzione del sistema lineare, rappresenta i cerchi di Mohr:
http://it.wikipedia.org/wiki/Cerchio_di_Mohr
Per l'equazione non capisco dove tu abbia letto $r_n^2$...forse l'hai confuso con $\tau_n^2$
Comunque è giusta come l'ho scritta così....quell'equazione deriva dalla risoluzione del sistema lineare, rappresenta i cerchi di Mohr:
http://it.wikipedia.org/wiki/Cerchio_di_Mohr
ok allora i passaggi che portano alla risoluzione sono questi: (al posto dei sigma ci scrivo x che è più comodo)
$\tau_n^2 + x_n^2 -x_nx_2 -x_nx_3 +x_2x_3 = 0 -> \tau_n^2 +x_n^2 -x_n(x_2 +x_3) + x_2x_3 = 0$
$ \tau_n^2 + (x_2^3 +x_3^2 +2x_2x_3)/4 - (x2+x_3)x_n = (x_2^2 +x_3^2)/4 -(x_2x_3)/2$
basta notare che:
$(x_2 +x_3^2 +2x_2x_3)/4 - (x2+x_3)x_n =(x_n - (x_2+x_3)/2)^2$
e che a destra abbiamo:
$(x_2^2 +x_3^2)/4 -(x_2x_3)/2=((x_2 -x_3)/2)^2$
$\tau_n^2 + x_n^2 -x_nx_2 -x_nx_3 +x_2x_3 = 0 -> \tau_n^2 +x_n^2 -x_n(x_2 +x_3) + x_2x_3 = 0$
$ \tau_n^2 + (x_2^3 +x_3^2 +2x_2x_3)/4 - (x2+x_3)x_n = (x_2^2 +x_3^2)/4 -(x_2x_3)/2$
basta notare che:
$(x_2 +x_3^2 +2x_2x_3)/4 - (x2+x_3)x_n =(x_n - (x_2+x_3)/2)^2$
e che a destra abbiamo:
$(x_2^2 +x_3^2)/4 -(x_2x_3)/2=((x_2 -x_3)/2)^2$
GRANDISSIMO!!!! 
ho capito perfettamente....forse ti sei dimenticato di aggiungere un $x_n^2$ qua a primo membro:
grazie mille davvero!
Mi chiedo nell'Ottocento come abbia fatto Mohr a capire che si trattasse di un cerchio senza maple....probabilmente era meno rimbambito di me
ho capito perfettamente....forse ti sei dimenticato di aggiungere un $x_n^2$ qua a primo membro:
"Zkeggia":
basta notare che:
$(x_2 +x_3^2 +2x_2x_3)/4 - (x2+x_3)x_n =(x_n - (x_2+x_3)/2)^2$
grazie mille davvero!
Mi chiedo nell'Ottocento come abbia fatto Mohr a capire che si trattasse di un cerchio senza maple....probabilmente era meno rimbambito di me
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