Matrice di un'applicazione lineare e isomorfismo
Ciao a tutti, sono nuovo ma seguo da un pò il forum e devo dire che si trovano molte risposte utili. Comunque, passiamo al mio problema.
Siano V e W due spazi vettoriale e T:V ---> W un'applicazione lineare (quindi T è elemento di Hom(V,W))
Se $ B=(b_1,...,b_n) $ e $ C=(c_1,...,c_m) $ sono basi per V e W rispettivamente e dimV=n, dimW=m, si può definire la matrice di T rispetto alle basi B e C che è elemento dell'insieme delle matrici mxn a coefficienti in K (con K campo). Questa matrice è definita dalla regola:
$ T(b_j)=sum_(i = 1)^(m)a_(ij)c_i $
La mia domanda è: questa matrice evidentemente è una funzione da Hom(V,W) --> M(mxn;K), e dimHom(V,W)=dimVdimW=nm. Ma essa è un isomorfismo sempre e comunque, indipendentemente da come è fatta T e da come sono V e W???
Siano V e W due spazi vettoriale e T:V ---> W un'applicazione lineare (quindi T è elemento di Hom(V,W))
Se $ B=(b_1,...,b_n) $ e $ C=(c_1,...,c_m) $ sono basi per V e W rispettivamente e dimV=n, dimW=m, si può definire la matrice di T rispetto alle basi B e C che è elemento dell'insieme delle matrici mxn a coefficienti in K (con K campo). Questa matrice è definita dalla regola:
$ T(b_j)=sum_(i = 1)^(m)a_(ij)c_i $
La mia domanda è: questa matrice evidentemente è una funzione da Hom(V,W) --> M(mxn;K), e dimHom(V,W)=dimVdimW=nm. Ma essa è un isomorfismo sempre e comunque, indipendentemente da come è fatta T e da come sono V e W???
Risposte
Benvenuto come utente iscritto, non possiamo risponderti dato che non hai detto chi siano $a_{ij}$ 
Inoltre, una matrice non può essere una funzione nel senso che tu hai detto!
Inoltre, una matrice non può essere una funzione nel senso che tu hai detto!
Beh, gli $ a_(ij) $ presumo siano dei coefficienti numerici, in quanto l'unica cosa che faccio dicendo che questa matrice rispetta tale regola è dire che "riscrivo" i $ T(b_j) $ come combinazione lineare della base $ C=(c_1,...,c_m) $.
Quindi la mia matrice sarà una matrice del tipo $ ( T(b_1) , ... , T(b_n )) $ dove i vari $ T(b_j) $ con $ j=1,...,n $ sono vettori colonna.
Se la mia matrice è M(T), allora sarà:
M(T) = $ ( ( a_(11) , ... , a_(1j) ),( . , , . ),( a_(i1) , ... , a_(ij) ) ) $
Perchè questa matrice non può essere intesa come una funzione nel senso che dico io???
Quindi la mia matrice sarà una matrice del tipo $ ( T(b_1) , ... , T(b_n )) $ dove i vari $ T(b_j) $ con $ j=1,...,n $ sono vettori colonna.
Se la mia matrice è M(T), allora sarà:
M(T) = $ ( ( a_(11) , ... , a_(1j) ),( . , , . ),( a_(i1) , ... , a_(ij) ) ) $
Perchè questa matrice non può essere intesa come una funzione nel senso che dico io???
"mirko88.":
La mia domanda è: questa matrice evidentemente è una funzione da Hom(V,W) --> M(mxn;K), e dimHom(V,W)=dimVdimW=nm. Ma essa è un isomorfismo sempre e comunque, indipendentemente da come è fatta T e da come sono V e W???
La mia risposta è sì.
Naturalmente nelle ipotesi in cui ti sei messo, ovvero $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita su un campo $K$.
E l'isomorfismo dipende dalla scelta delle basi di $V$ e $W$.
Comunque, visto che sei nuovo (a proposito, benvenuto
), per le prossime volte non ti dimenticare di fare una ricerca sul forum (pulsante cerca in alto).Per esempio, tempo fa qui era stato dato un riferimento bibliografico per questo risultato.
Ciao!
Parlando della matrice associata ad un'applicazione lineare come tu hai fatto crei un isomorfismo tra $Hom_K(V;W)$ e $M_m^n(K)$, così è ancora più corretto!
Bene, grazie a entrambe per la risposta Credo (e spero) di aver capito!!!
Credo (e spero) di aver capito!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo