Matrice di una rotazione su $RR^2$

[lewis1]

Ciao a tutti.
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio che mi sta facendo disperare
Determinare la matrice corrispondente alla rtazione di angolo $pi/4$ e centro $(1,2)$ su $RR^2$

Non so da dove cominciare...
Cioè, in generale, se la rotazione fosse di centro l'origine, un punto $P$ di coordinate $(x,y)$ sarebbe trasformato nel vettore $(x', y')$, dove
$x'= x cos(alpha) - ysin(alpha)$
$y'= xsin(alpha) + ycos(alpha)$

Ma in questo caso il centro non è l'origine...Dovrei eventualmente traslare?
E poi come trovo esattamente la matrice?

Grazie per l'aiuto e buona giornata.

[cirasa]

Beh, puoi prima traslare e portare il punto $A(1,2)$ nell'origine $O$, ruotare e poi riportare $O$ in $A$ con una traslazione.
Nota che non ti basta una semplice matrice, ti servirà una trasformazione nella forma
[tex]\left\{ \begin{matrix} x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{matrix} \right.[/tex]

[franced]

Se il centro di rotazione non è l'origine ma è il punto $(x_0,y_0)$,
le equazioni della rotazione sono le seguenti:

[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x - x_0 \\
y - y_0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)[/tex]

[franced]

Un esempio si trova qui (dovete guardare l'esercizio numero 7):

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _daddi.pdf

[lewis1]

Grazie ad entrambi.
Ora provo e poi posto il mio tentativo.

A più tardi

[lewis1]

Ciao.
Ho guardato l'esempio che mi hai suggerito, è proprio il medesimo tipo di esercizio

Ho risolto il mio nel medesimo modo e ho ottenuto
$phi: ((x), (y)) rarr ((cos(pi/4),-sin(pi/4)),(sin(pi/4),cos(pi/4))) ((x-1),(y-2)) + ((1),(2))$ e il risultato (a meno di stupidi errori di conto) dovrebbe essere

$(sqrt2)/2 ((1,-1),(1,1))((x), (y)) + ((1+ (sqrt2)/2), (2 - 3(sqrt2)/2))$

E' corretto?

Ora, non vorrei essere troppo rompiscatole, ma non ho capito la base teorica di questa formula (ho provato a cercare sia sul libro di algebra sia su quello di algebra lineare, ma ho trovato solo spiegazioni ed esercizi nel caso in cui il centro della rotazione sia l'origine)
Mi potresti spiegare come hai applicato la traslazione? Cioè, come ottieni la formula...

Grazie ancora e scusa il disturbo

[cirasa]

L'idea è quella di trasportare il punto $(x_0,y_0)$ nell'origine mediante la traslazione
${(x'=x-x_0),(y'=y-y_0):}$
Poi effettuare la rotazione di angolo $theta$
${(x''=\cos\theta\ x'-\sin\theta\ y'=\cos\theta\ (x-x_0)-\sin\theta\ (y-y_0)),(y''=\sin\theta\ x'+\cos\theta\ y'=\sin\theta\ (x-x_0)+\cos\theta\ (y-y_0)):}$
E infine ritraslare l'origine nel punto $(x_0,y_0)$
${(X=x''+x_0=\cos\theta\ (x-x_0)-\sin\theta\ (y-y_0)+x_0),(Y=y''+y_0=\sin\theta\ (x-x_0)+\cos\theta\ (y-y_0)+y_0):}$

Ottieni la trasformazione che franced ha scritto in forma matriciale come
[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x - x_0 \\
y - y_0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)[/tex]

[lewis1]

"cirasa":L'idea è quella di trasportare il punto $(x_0,y_0)$ nell'origine mediante la traslazione
${(x'=x-x_0),(y'=y-y_0):}$
Poi effettuare la rotazione di angolo $theta$
${(x''=\cos\theta\ x'-\sin\theta\ y'=\cos\theta\ (x-x_0)-\sin\theta\ (y-y_0)),(y''=\sin\theta\ x'+\cos\theta\ y'=\sin\theta\ (x-x_0)+\cos\theta\ (y-y_0)):}$
E infine ritraslare l'origine nel punto $(x_0,y_0)$
${(X=x''+x_0=\cos\theta\ (x-x_0)-\sin\theta\ (y-y_0)+x_0),(Y=y''+y_0=\sin\theta\ (x-x_0)+\cos\theta\ (y-y_0)+y_0):}$

Ottieni la trasformazione che franced ha scritto in forma matriciale come
[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x - x_0 \\
y - y_0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)[/tex]

Grazie, cirasa, come sempre chiaro e disponibile.
Buon pomeriggio.

[cirasa]

Prego!
Buon pomeriggio anche a te.