Matrice di un omomorfismo rispetto ad una base
Buonasera a tutti 
volevo proporvi questo esercizio di geometria che non sono riuscito a risolvere completamente:
"Sia data la base di $ R^3 $ formata dai vettori $ v^1 =(1,2,3), v^2=(2,0,2) , v^3=(0,2,3) $ . Sia $ f $ l'endomorfismo di $ R^3 $ il cui nucleo è generato da v1 e v2 e tale che $ f(v^3)=v^2 $ .
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base formata da v1,v2 e v3.
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica."
Sono riuscito a rispondere correttamente alla prima domanda, e tale matrice è $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Non ho idea di come si possa determinare una matrice rappresentativa di f rispetto alla canonica se ho un'altra base. Devo utilizzare la matrice di passaggio da una base all'altra? Devo calcolare l'immagine dei vettori della base canonica grazie alla matrice che ho già? Le ho veramente provate tutte!
Per completezza, la soluzione al secondo quesito è $ ( ( -2 , -2 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ),( -2 , -2 , 2 ) ) $
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto!
volevo proporvi questo esercizio di geometria che non sono riuscito a risolvere completamente:"Sia data la base di $ R^3 $ formata dai vettori $ v^1 =(1,2,3), v^2=(2,0,2) , v^3=(0,2,3) $ . Sia $ f $ l'endomorfismo di $ R^3 $ il cui nucleo è generato da v1 e v2 e tale che $ f(v^3)=v^2 $ .
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base formata da v1,v2 e v3.
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica."
Sono riuscito a rispondere correttamente alla prima domanda, e tale matrice è $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Non ho idea di come si possa determinare una matrice rappresentativa di f rispetto alla canonica se ho un'altra base. Devo utilizzare la matrice di passaggio da una base all'altra? Devo calcolare l'immagine dei vettori della base canonica grazie alla matrice che ho già? Le ho veramente provate tutte!
Per completezza, la soluzione al secondo quesito è $ ( ( -2 , -2 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ),( -2 , -2 , 2 ) ) $
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto!
Risposte
la cosa non è per nulla complicata devi solo esprimere i vettori della base canonica come combinazione lineare dei vettori di cui conosci l'immagine così che poi tramite la linearità dell'applicazione trovi l'immagine dei vettori della base canonica che accostate formano le colonne della matrice rappresentativa. per cui devi trovare $a,b,c in RR$ tali che:
1. $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) =a( ( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+b( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+c( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $
2. $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) =a( ( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+b( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+c( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $
3. $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =a( ( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+b( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+c( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $
1. $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) =a( ( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+b( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+c( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $
2. $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) =a( ( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+b( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+c( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $
3. $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =a( ( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+b( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+c( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $
Ora ho capito, grazie mille! Avevo già fatto il tuo ragionamento e avevo calcolato a, b e c per ogni vettore della base canonica, ma non avevo pensato a calcolare l'immagine dei vettori in questo modo. Grazie infinite!
figurati 
Si potrebbe fare anche in un altro modo:
1)Ti calcoli la matrice di cambio di base dalla base "strana" alla canonica, diciamo: $M_{B, C}(id) = ( (1, 2, 0), (2, 0, 2), (3, 2, 3))$
2)Ti calcoli la matrice di cambio base dalla canonica a quella "strana"( altro non è che l'inversa della matrice precedente): $M_{C, B}(id) = M_{B, C}(id)^(-1) = ( (1, 3/2, -1), (0, -3/4, 1/2), (-1, -1, 1))$
Allora la matrice associata a $f$ rispetto alla canonica è: $M_{C, C}(f) = M_{B, C}(id) * M_{B, B}(f) * M_{C, B}(id)$, moralmente quello che accade è questo: la matrice associata a $f$ rispetto alla canonica prende le coordinate di un vettore $v$ rispetto alla canonica e sputa fuori le coordinate di $f(v)$ rispetto alla canonica; noi in quel prodotto cosa facciamo? Prendiamo le coordinate di un vettore $v$ rispetto alla canonica e lo diamo in pasto a $M_{C, B}(id)$ e questa sputa le coordinate di $v$ rispetto a $B$, chiamialole $[v]_B$, queste ultime vengono passate a $M_{B, B}(f)$ che le trasforma in $[f(v)]_B$ le quali vengono passate a $M_{B, C}(id)$ che le trasforma in $[f(v)]_C$, come volevamo. Non so se ho reso l'idea del processo che c'è dietro
1)Ti calcoli la matrice di cambio di base dalla base "strana" alla canonica, diciamo: $M_{B, C}(id) = ( (1, 2, 0), (2, 0, 2), (3, 2, 3))$
2)Ti calcoli la matrice di cambio base dalla canonica a quella "strana"( altro non è che l'inversa della matrice precedente): $M_{C, B}(id) = M_{B, C}(id)^(-1) = ( (1, 3/2, -1), (0, -3/4, 1/2), (-1, -1, 1))$
Allora la matrice associata a $f$ rispetto alla canonica è: $M_{C, C}(f) = M_{B, C}(id) * M_{B, B}(f) * M_{C, B}(id)$, moralmente quello che accade è questo: la matrice associata a $f$ rispetto alla canonica prende le coordinate di un vettore $v$ rispetto alla canonica e sputa fuori le coordinate di $f(v)$ rispetto alla canonica; noi in quel prodotto cosa facciamo? Prendiamo le coordinate di un vettore $v$ rispetto alla canonica e lo diamo in pasto a $M_{C, B}(id)$ e questa sputa le coordinate di $v$ rispetto a $B$, chiamialole $[v]_B$, queste ultime vengono passate a $M_{B, B}(f)$ che le trasforma in $[f(v)]_B$ le quali vengono passate a $M_{B, C}(id)$ che le trasforma in $[f(v)]_C$, come volevamo. Non so se ho reso l'idea del processo che c'è dietro
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