Matrice di rotazione con diverse basi ortogonali

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Leggo sullo Strang, Algebra lineare, p. 135 dell'edizione Apogeo, che, rispetto alla matrice usata per la rotazione $T:RR^2\to RR^2$ la base standard di $RR^2$, cambiando di base e supponendo che "il primo vettore della base appartenga alla retta inclinata di $\theta$ e il secondo vettore della base sia perpendicolare a questo [...] la matrice non cambia".
È tutta la sera che mi scervello a capire il perché di questa affermazione, ma mi pare che sia valida se i vettori della base sono \(\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}\) e \(\begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}\), cioè se sono una rotazione di $\theta$ radianti dei versori \(\mathbf{e}_1\) e \(\mathbf{e_2}\) della base standard, mentre l'affermazione non mi pare affatto garantita se i vettori della base sono perpendicolari, ma della forma \(\alpha\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}\) e \(\beta\begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}\) con \((\alpha,\beta)\ne(1,1)\)...
Che ne pensate: sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!!!

[dissonance]

Hai ragione tu, chiaramente. Già prendendo la seguente base di \(\mathbb{R}^2\):
\[
(1, 0), (0, 2), \]
la matrice corrispondente alla rotazione di 90° è
\[
\begin{bmatrix} & -2 \\ \frac{1}{2} & \end{bmatrix}.
\]
Rispetto alla base canonica invece la matrice è
\[
\begin{bmatrix}
& -1 \\ 1 & \end{bmatrix}.\]

[DavideGenova1]

Pensare che ieri sera ci ho perso il sonno, credendo di sbagliare per ogni controesempio che trovavo...
$+oo$ grazie!