MATRICE DI ROTAZIONE
Salve non riesco a capire questa proprietà se cosi si può chiamare delle matrici di rotazione, espressa come prodotto matriciale delle basi di due sistemi di riferimento diversi ortogonali.
Vi ringrazio in anticipo per la vostra collaborazione. In particolare quella che non capisco è la 1.8 dell'immagine
Vi ringrazio in anticipo per la vostra collaborazione. In particolare quella che non capisco è la 1.8 dell'immagine
Risposte
Le colonne di una matrice rappresentano l'immagine delle basi dello spazio di partenza nello spazio di arrivo. Spero che questo ti sia in qualche modo chiaro. L'ultima parte della formula invece deriva dalla formula generale con cui scrivi un vettore in termini di una base.
Per cortesia potresti essere un pò , più chiaro, penso che tu quando parli di immagine ti stia riferendo in qualche modo ad una applicazione lineare. Io non capisco quella matrice 1.8 da dove nasce. Sembra derivi dal prodotto righe per colonne delle matrici che hanno per colonne i vettori della base di due sistemi di riferimento ortogonali.
Se non hai ben presente il legame tra applicazioni lineari, matrici e basi di questi spazi ti consiglio di leggerti qualcosa di più sull'argomento prima di affrontare questo libro.
Il discorso è comunque molto semplice in realtà. Supponiamo di avere una matrice \(A\) di dimensione \( m \times n. \) Questa matrice la puoi vedere come una trasformazione da uno spazio \( n \) dimensionale ad uno spazio \( m \) dimensionale. Sia quindi \( b_i \) l'i-esima base standard dello spazio \( n \) dimensionale. Se siamo in \( \mathbb R^3 \) abbiamo \( b_1 = (1, 0, 0)^t, b_2 = (0, 1, 0)^t, b_3 = (0, 0, 1)^t. \) L'immagine della base attraverso la matrice saranno quindi \(A\,b_1, \dots, A\,b_n\) cioè \(a_1, \dots, a_n\) (le colonne della matrice). Se ora prendiamo la base standard \( c_1, \dots, c_m \) di \( \mathbb R^m, \) abbiamo che ogni vettore può essere scritto nella forma \( v = \sum_{i = 1}^m v_i\,c_i = \sum_{i = 1}^m (v \cdot c_i)\,c_i \). Se quindi sostituiamo le colonne di \(A\) dentro quest'ultima formula troviamo che le componenti della matrice si possono scrivere come \( a_{ij} = (A\,b_i)\cdot c_i = b_i \cdot (A^{-1}\,c_i). \) Nota che la formula 1.8 è impropria in quanto stai facendo il prodotto scalare tra vettori in due spazi vettoriali differenti.. È però più generale di quanto voglia far credere..
Il discorso è comunque molto semplice in realtà. Supponiamo di avere una matrice \(A\) di dimensione \( m \times n. \) Questa matrice la puoi vedere come una trasformazione da uno spazio \( n \) dimensionale ad uno spazio \( m \) dimensionale. Sia quindi \( b_i \) l'i-esima base standard dello spazio \( n \) dimensionale. Se siamo in \( \mathbb R^3 \) abbiamo \( b_1 = (1, 0, 0)^t, b_2 = (0, 1, 0)^t, b_3 = (0, 0, 1)^t. \) L'immagine della base attraverso la matrice saranno quindi \(A\,b_1, \dots, A\,b_n\) cioè \(a_1, \dots, a_n\) (le colonne della matrice). Se ora prendiamo la base standard \( c_1, \dots, c_m \) di \( \mathbb R^m, \) abbiamo che ogni vettore può essere scritto nella forma \( v = \sum_{i = 1}^m v_i\,c_i = \sum_{i = 1}^m (v \cdot c_i)\,c_i \). Se quindi sostituiamo le colonne di \(A\) dentro quest'ultima formula troviamo che le componenti della matrice si possono scrivere come \( a_{ij} = (A\,b_i)\cdot c_i = b_i \cdot (A^{-1}\,c_i). \) Nota che la formula 1.8 è impropria in quanto stai facendo il prodotto scalare tra vettori in due spazi vettoriali differenti.. È però più generale di quanto voglia far credere..
"apatriarca":
Se quindi sostituiamo le colonne di \(A\) dentro quest'ultima formula troviamo che le componenti della matrice si possono scrivere come \( a_{ij} = (A\,b_i)\cdot c_i = b_i \cdot (A^{-1}\,c_i). \) Nota che la formula 1.8 è impropria in quanto stai facendo il prodotto scalare tra vettori in due spazi vettoriali differenti.. È però più generale di quanto voglia far credere..
Non mi è molto chiara quest' ultima parte. Ho comunque fatto una buona ripassata di applicazioni lineari basi e matrici. Solo quest' ultima parte non mi è ben chiaro cosa hai fatto e come si collega alla matrice 1.8 del mio post.
Si collega al tuo post perché hai che \( \mathbf{i}_A = A\,b_1, \mathbf{j}_A = A\,b_2, \mathbf{k}_A = A\,b_3\) e \( \mathbf{i}_B = c_1, \mathbf{j}_B = c_2, \mathbf{k}_B = c_3 \) nella mia notazione.
"apatriarca":
Se quindi sostituiamo le colonne di \(A\) dentro quest'ultima formula troviamo che le componenti della matrice si possono scrivere come \( a_{ij} = (A\,b_i)\cdot c_i = b_i \cdot (A^{-1}\,c_i). \) Nota che la formula 1.8 è impropria in quanto stai facendo il prodotto scalare tra vettori in due spazi vettoriali differenti.. È però più generale di quanto voglia far credere..
Ok .. adesso mi è più chiaro. solo una cosa mi confonde \( a_{ij} = (A\,b_i)\cdot c_i = b_i \cdot (A^{-1}\,c_i). \) se usiamo l'inversa della matrice A è come se invertissimo l'applicazione lineare da m a n e non più il contrario. Quindi quello che facciamo è andare poi a esprimere i vettori $c_i$ base ortonormale di $R^m$ , come vettori di $R^n$ e facciamo poi i prodotti scalari con $b_i$ .Potresti spiegarmi meglio questa parte dove sta l'inversa di $A$. Prima dell'ultima uguaglianza tutto ok. Quando usi l'inversa non capisco bene cosa succede. Grazie in anticipo
p.s e poi la parte in cui dici che la formula è impropria . cosa intendi? Grazie ancora
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