Matrice di passaggio

[Darksasori]

Sto avendo alcuni problemi con questo esercizio vi posto l'immagine:



L'esercizio chiede la matrice associata alla base canonica.
Le dispense mi forniscono anche la sua soluzione, ma quello che proprio non capisco e come ci si arriva e mi servirebbe una soluzione commentata. Se c'è qualche anima pia.

Grazie!

[_prime_number]

Guarda la definizione qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_cambiamento_di_base

basta scrivere la matrice di passaggio ad una base all'altra e in quel link c'è scritto come si fa operativamente (vedi anche esempi)

Paola

[Darksasori]

Avevo già visto quel link e altre dispense ma mi confondono ancora di più, avrei bisogno di vederlo applicato ad un esercizio.

[Darksasori]

Ho pensato che essendo f un endomorfismo si potrebbe calcolarne l'applicazione lineare e una volta trovata, cercare la matrice associata alla base canonica, il problema è però che non riesco a trovare come si ricavi l'applicazione lineare.

[_prime_number]

Ricorda che le colonne della matrice sono l'immagine dei vettori della base scelta (in coordinate secondo la stessa base, in questo caso).
Dunque si ha, per esempio con la prima colonna:
$f((1),(1),(1))=((1),(2),(3))_{\mathcal{B}}= 1((1),(1),(1)) + 2((0),(1),(1))+3((0),(-1),(1))=((1),(0),(6))_{\mathcal{E}} $ dove $\mathcal{E}$ è la base canonica.
Dunque, sfruttando i conti fatti e la linearità dell'applicazione, hai ottenuto che
$f(e_1) + f(e_2)+f(e_3)=((1),(0),(6))$
Ora fai la stessa cosa con le altre 2 colonne della matrice e otterrai altre due equazioni e cerca con operazioni algebriche elementari di ricavarti $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ che saranno le colonne della nuova matrice.

Paola

[Darksasori]

Ok! Grazie mille mi hai aiutato ad uscire da un mare di nebbia!