Matrice di Gram
Sia g una forma bilineare e G la sua matrice di Gram associata.
Allora g è non degenere se e solo se G è invertibile.
Ci sono delle condizioni necessarie e sufficienti affinchè g sia non degenere a sinistra (risp. destra)?
Allora g è non degenere se e solo se G è invertibile.
Ci sono delle condizioni necessarie e sufficienti affinchè g sia non degenere a sinistra (risp. destra)?
Risposte
cos intendi per matrice di gram?
Intendi la matrice associata al prodotto scalare?
ovvero la matrice $G$ tale che $g(X,Y)=X^t*G*Y$
Intendi la matrice associata al prodotto scalare?
ovvero la matrice $G$ tale che $g(X,Y)=X^t*G*Y$
Esatto. La matrice che ha per entrate i $g(v_i,w_j)$ con $1<=i<=dimV$ e $1<=j<=dimW$.
Vediamo, come prima cosa per arrivare alla soluzione ti chiederei:
Dalla definizione abbiamo che un prodotto scalare è degenere se il radicale ha dimensione maggiore o uguale ad uno. è scritto qui
Quindi ti chiederei: sapresti trovare una base del radicale? (dopo aver dimostrato che è un sottospazio ovvio)
Se rispondi a questa domanda e se osservi che $(A*X)^t=X^t*A^t$ forse ce la fai a concludere
Dalla definizione abbiamo che un prodotto scalare è degenere se il radicale ha dimensione maggiore o uguale ad uno. è scritto qui
Quindi ti chiederei: sapresti trovare una base del radicale? (dopo aver dimostrato che è un sottospazio ovvio)
Se rispondi a questa domanda e se osservi che $(A*X)^t=X^t*A^t$ forse ce la fai a concludere
Uhm...direi che il radicale è ${v\inV:vG=0}$ ma non saprei trovarne una base in modo astratto.
PS: che significato ha il prodotto $vG$ vettore per matrice? Normalmente sono scambiati di posto (matrice per vettore).
PS: che significato ha il prodotto $vG$ vettore per matrice? Normalmente sono scambiati di posto (matrice per vettore).
"thedarkhero":
che significato ha il prodotto $vG$ vettore per matrice? Normalmente sono scambiati di posto (matrice per vettore).
Non so, forse non è quello che volevi scrivere o hai letto male...Matrice per vettore ha senso, ma anche vettore trasposto per matrice ha senso, fai l'usuale prodotto riga-colonna...
Non voglio girarci troppo intorno, ma dare subito la risposta sarebbe poco istruttivo, secondo me se riesci a rispondere a questa domanda più semplice allora puoi iniziare a ragionare sul tuo esercizio.
Data una forma bilineare simmetrica sai trovare una base del radicale?
Ad esempio trova una base del radicale della forma bilineare la cui matrice associata è
$((3,6,7),(6,12,14),(7,14,0))$
Cerca quindi un modo generale.
Poi prova a dare condizioni su un prodotto scalare affinchè sia non degenere.
E fatto ciò passa pure al tuo esercizio, ovvero togli l'ipotesi della simmetria della matrice...
Risolvo il sistema omogeneo associato alla trasposta di G ed ottengo l'insieme dei vettori v per cui $g(v,w)=0AAw\inW$.
Quindi la soluzione è unica (cioè il vettore nullo) se il numero di righe indipendenti è uguale al numero di colonne nella matrice $G^t$ ovvero se il rango di G è uguale alla dimensione di V. Può funzionare?
Quindi la soluzione è unica (cioè il vettore nullo) se il numero di righe indipendenti è uguale al numero di colonne nella matrice $G^t$ ovvero se il rango di G è uguale alla dimensione di V. Può funzionare?
Puoi iniziare con lo scrivere una base del radicale della matrice che ti ho dato?
$<(-2,1,0)>$
Benissimo...come hai fatto?
Come ho detto sopra, ho risolto il sistema omogeneo associato a $G^t$.
Questo per porre il prodotto tra il generico v e G uguale a zero.
Questo per porre il prodotto tra il generico v e G uguale a zero.
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