Matrice di Echelon triangolare superiore
Buongiorno ragazzi ho a che fare con questa matrice ricavata dalla forma ridotta di Echelon
$ ( ( -9.4 , 5.14 , 5.25 ),( 0 , -8.13 , 7.75 ),( 0 , 0 , -9.53 ) ) $
Le colonne base sono la prima e la seconda quindi prendo z come variabile libera. Imposto il sistema omogeneo(perché così è richiesto):
$ { ( -9.4x+5.14y-5.25z=0 ),( -8.13y+7.75z=0 ),( -9.53z=0 ):} $
è corretto procedere in questo modo?:
$ { ( x=(-5.14y-5.25z)/-9.4 ),( y=(-7.75z)/-8.13):} $ cioè ignorando praticamente la terza equazione dato che z è fissato? Possibile che non si debba tener conto della terza equazione? Sono confuso =(.
Non mi sono mai ritrovato in una situazione simile, ovvero una matrice di Echelon con tre equazioni e tre incognite e con due colonne base. Procedendo così ottengo: $ z( ( 1.077 ),( 0.953 ),( 1 ) ) $
il mio dubbio è che avendo z coefficiente (-9.53) il risultato finale corretto sia $ z_1( ( 1.077*(-9.53) ),( 0.953*(-9.53) ),( 1*(-9.53) ) ) $
Ps: non fate caso ai calcoli se son giusti o sbagliati.. In realtà sono numeri di macchina che ho troncato volutamente qui sul forum per semplicità. Mi interessa il ragionamento in queste situazioni
$ ( ( -9.4 , 5.14 , 5.25 ),( 0 , -8.13 , 7.75 ),( 0 , 0 , -9.53 ) ) $
Le colonne base sono la prima e la seconda quindi prendo z come variabile libera. Imposto il sistema omogeneo(perché così è richiesto):
$ { ( -9.4x+5.14y-5.25z=0 ),( -8.13y+7.75z=0 ),( -9.53z=0 ):} $
è corretto procedere in questo modo?:
$ { ( x=(-5.14y-5.25z)/-9.4 ),( y=(-7.75z)/-8.13):} $ cioè ignorando praticamente la terza equazione dato che z è fissato? Possibile che non si debba tener conto della terza equazione? Sono confuso =(.
Non mi sono mai ritrovato in una situazione simile, ovvero una matrice di Echelon con tre equazioni e tre incognite e con due colonne base. Procedendo così ottengo: $ z( ( 1.077 ),( 0.953 ),( 1 ) ) $
il mio dubbio è che avendo z coefficiente (-9.53) il risultato finale corretto sia $ z_1( ( 1.077*(-9.53) ),( 0.953*(-9.53) ),( 1*(-9.53) ) ) $
Ps: non fate caso ai calcoli se son giusti o sbagliati.. In realtà sono numeri di macchina che ho troncato volutamente qui sul forum per semplicità. Mi interessa il ragionamento in queste situazioni
Risposte
La soluzione di quel sistema è quella banale, ovvero il vettore nullo.
"Bokonon":
La soluzione di quel sistema è quella banale, ovvero il vettore nullo.
In teoria non dovrebbe essere l'unica. Avendo due colonne base e quindi il rango 2 dovrebbero essere infinite soluzioni dipendenti da n-r variabili libere. Nel mio caso 1. Che il rango sia 2 e la matrice sia quella non ci piove perchè ci viene detto di utilizzare l'algoritmo della prof., dobbiamo solo passargli la matrice e restituisce matrice in forma di Echelon e quali sono le colonne base (le prime due nel mio caso). Inoltre non avrebbe senso la soluzione banale per tutta la roba che ci devo fare dopo su quel vettore
Se rimpiazzi quel $-9.53$ con uno zero allora la matrice ha rango 2 e quella che hai trovato è la soluzione.
La matrice che hai scritto ha rango massimo.
La matrice che hai scritto ha rango massimo.
"Bokonon":
Se rimpiazzi quel $-9.53$ con uno zero allora la matrice ha rango 2 e quella che hai trovato è la soluzione.
La matrice che hai scritto ha rango massimo.
si è vero quella che ho scritto così per semplicità ha rango 3 ma la vera matrice è questa:
come dovrei comportarmi in questo caso?
Inoltre quando dici la soluzione è quella che hai trovato intendi $z$ o $z_1$? (ho modificato nel primo post per distinguerle)
L'unica cosa che mi viene in mente è che essendo dell'ordine di $10^-7$ rispetto agl'altri che sono $10^9$ posso trattare la cosa come se in ultima posizione della matrice ($a_33$) ci sia uno zero e quindi la soluzione è la z ecc
O è zero o non lo è: son due matrici completamente diverse.
@vitoci
Intendevo la z.
Non so cosa tu stia facendo esattamente e quali fossero le entrate della matrice originaria.
Però, l'eliminazione di Gauss deve funzionare.
Se le entrate sono frazioni (o anche numeri irrazionali come $pi$) allora devi lavorare con esse e non con una virgola mobile.
Ma se è un compitino di programmazione "giusto per" allora puoi anche troncare.
Intendevo la z.
Non so cosa tu stia facendo esattamente e quali fossero le entrate della matrice originaria.
Però, l'eliminazione di Gauss deve funzionare.
Se le entrate sono frazioni (o anche numeri irrazionali come $pi$) allora devi lavorare con esse e non con una virgola mobile.
Ma se è un compitino di programmazione "giusto per" allora puoi anche troncare.
Aspetta un attimo, ma l'ultima colonna dovrebbe essere di termini noti? Perché se si tratta di un sistema omogeneo (ovvero con termini noti nulli), allora ovviamente l'unica soluzione è quella nulla.
"vitoci":
. Che il rango sia 2 e la matrice sia quella non ci piove perchè ci viene detto di utilizzare l'algoritmo della prof., dobbiamo solo passargli la matrice e restituisce matrice in forma di Echelon e quali sono le colonne base (le prime due nel mio caso). Inoltre non avrebbe senso la soluzione banale per tutta la roba che ci devo fare dopo su quel vettore
Ma chi è che ti dice che la matrice ha rango $2$? Vedo dall'immagine di codice che hai inserito che il
rango è calcolato con l'istruzione np.linalg.matrix_rank(U_2), che dà come output $2$.
Quindi penso che l'entrata $a_(3,3)$ sia un numero troppo piccolo che il programma non distingue dallo $0$.
E, come dici tu, puoi trattare come $0$, visto che il programma lo tratta come $0$.
Anche se la teoria direbbe che il rango è massimo, qui mi pare che stai facendo cose di analisi numerica, dove le approssimazioni sono la norma.
Almeno, mi sembra la spiegazione più sensata.
"vitoci":
Procedendo così ottengo: $ z( ( 1.077 ),( 0.953 ),( 1 ) ) $
il mio dubbio è che avendo z coefficiente (-9.53) il risultato finale corretto sia $ z_1( ( 1.077*(-9.53) ),( 0.953*(-9.53) ),( 1*(-9.53) ) ) $
Volevo notare un'altra cosa.
La soluzione con $z$ è giusta (se i calcoli sono giusti, non li ho fatti).
La soluzione con $z_1$ è brutta da guardare, ma in effetti è la stessa di quella con la $z$.
Hai moltiplicato ogni componente del vettore per uno stesso numero, ma poiché $z_1$ è arbitrario ti restituisce le stesse soluzioni della soluzione con la $z$.
Non ha senso quindi distinguere tra le due.
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