Matrice di cambiamento di base

[Kobra1]

potreste spiegarmi in parole povere in cosa consiste e come la posso calcolare, nei miei libri non ci ho capito una mazza...

questa geometria è impossibileeee

scusate lo sfogo

[franced]

Se credi di poter capire questo argomento in mezzora ti sbagli..

E' difficile spiegare qui che cos'è un cambiamento di base!

Io ci ho provato alcune volte in questo forum, prova a vedere..

[nirvana2]

"Kobra":potreste spiegarmi in parole povere in cosa consiste e come la posso calcolare, nei miei libri non ci ho capito una mazza...

questa geometria è impossibileeee

scusate lo sfogo

Beh devi avere innanzitutto capito il concetto di base di uno spazio vettoriale. Se lo hai capito leggi il seguito:
tu lavori in uno spazio vettoriale e in questo spazio vettoriale cambi base di riferimento. Quella standard è la base canonica (che tutti conoscono). Ora puoi prendere come riferimento un'altra base, diversa da quella standard, anche se questa nuova base sarà cmq sempre espressa rispetto alla base standard.

Esempio: base standard di $R^2$: $((1,0),(0,1)$ Ora cambiamo base, esempio: $((1,2),(3,4))$ che è base perché sono linearmente indipendenti.
Ora hai un vettore, esempio, $v=(5,6)$ e questo è espresso nella base standard, ossia: $v=5*(1,0)+6*(0,1)$ e ora vuoi trovare le componenti di $v$ rispetto alla base nuova. Nota che cmq sia (come ho detto sopra) i vettori della nuova base sono espressi rispetto alla base canonica.

Chiama la matrice $B$ matrice della trasformazione di base dalla base nuova alla base vecchia, le cui colonne sono i vettori della nuova base. Quindi se vuoi la matrice che ti cambia le componenti dalla vecchi alla nuova, devi necessariamente fare l'inversa di $B$, cioè $B^-1$.
Ora fai $B^-1*v=(-1,2)$. Hai le componenti del tuo vettore rispetto alla nuova base.
Dal momento che anche la base nuova è espressa rispetto alla base vecchia, ovviamente se fai $(-1)*(1,2)+2*(3,4)$ ritrovi le componenti $(5,6)$
Capito?
Ciao.

[Kobra1]

ok penso di averci capito qualcosa, ora provo a fare qualche esercizio
grazie è stata un'ottima spiegazione