Matrice di cambiamento di base
Qualcuno mi può spiegare meglio questo concetto..
tnks
tnks
Risposte
Immagina di avere il piano cartesiano $(x,y)$, e ora pensa che hai bisogno di passare ad un sistema di riferimento che ti è più comodo per l'occasione, e scegli il sistema di assi $(x',y')$ ruotato di 60° rispetto ad $(x,y)$. Questo comporta che:
$x=x'*cos(60°)-y'*sen(60°)$
$y=x'*sen(60°)+y'*cos(60°)$
che può essere espresso in forma matriciale (sapendo che non so scrivere e matrici quì):
|$x$|=|$(0.5)$--$(-0.866)$|$*$|$x'$|
|$y$|=|$(0.866)$----$(0.5)$|$*$|$y'$|
immaginando quindi che gli "uguali" siano uno solo, stessa cosa per i "$*$", e che le barre nere delimitino il vettore $(x,y)$, quello $(x',y')$ e la matrice...inoltre i trattini neri nella matrice li ho messi solo per far combaciare verticalmente le due righe sulle quali ho scritto
Cmq, proprio quella matrice è la matrice di cambiamento di base...se stai studiando algebra lineare, quì il concetto è estremizzato al campo applicativo, ma il significato è lo stesso!! Lo spazio vettoriale è il piano cartesiano, la base $(x,y)$ è caratterizzata dai vattori base:
|1|----|0|
|0|----|1|
e la base $(x',y')$ dai vettori:
--|0.5|------|0.866|
|-0.866|------|0.5|
Nota pure che, chiamando $[T]$ la matrice di cambio base, $[X]$ la matrice base di $(x,y)$ e $[X']$ la matrice base di $(x',y')$, risulta:
$[X]=[T][X']$
$[X']=[T]^-1[X]
$x=x'*cos(60°)-y'*sen(60°)$
$y=x'*sen(60°)+y'*cos(60°)$
che può essere espresso in forma matriciale (sapendo che non so scrivere e matrici quì):
|$x$|=|$(0.5)$--$(-0.866)$|$*$|$x'$|
|$y$|=|$(0.866)$----$(0.5)$|$*$|$y'$|
immaginando quindi che gli "uguali" siano uno solo, stessa cosa per i "$*$", e che le barre nere delimitino il vettore $(x,y)$, quello $(x',y')$ e la matrice...inoltre i trattini neri nella matrice li ho messi solo per far combaciare verticalmente le due righe sulle quali ho scritto
Cmq, proprio quella matrice è la matrice di cambiamento di base...se stai studiando algebra lineare, quì il concetto è estremizzato al campo applicativo, ma il significato è lo stesso!! Lo spazio vettoriale è il piano cartesiano, la base $(x,y)$ è caratterizzata dai vattori base:
|1|----|0|
|0|----|1|
e la base $(x',y')$ dai vettori:
--|0.5|------|0.866|
|-0.866|------|0.5|
Nota pure che, chiamando $[T]$ la matrice di cambio base, $[X]$ la matrice base di $(x,y)$ e $[X']$ la matrice base di $(x',y')$, risulta:
$[X]=[T][X']$
$[X']=[T]^-1[X]
in pratica è come se "moltiplicando" $[T]$ (o con $[T]^-1$ all'inverso essendo biettiva) potessi avere le coord. di una "mappa"e trasportate su una nuova "mappa" e indietro??
Più o meno...in realtà la mappa non è nuova...è la stessa identica di prima, ma cambiando base ogni zona della mappa (che è lo stesso di prima) lo chiami in modo diverso!! E' come italiano e inglese...se dici una frase in italiano (senza scendere in sofismi, tipo modi di dire, restiamo su frasi normali) si può dire anche in inglese, dici la stessa identi ca cosa, ma la dici con convenzioni diverse.
Quindi cambi le convenzioni di riferimento con cui identificare gli elementi...
Quindi cambi le convenzioni di riferimento con cui identificare gli elementi...
quindi $[T]$ è il modo che ho per cambiare base(lingua) per dire qualcosa... quindi basi diverse mi danno parole diverse che però sono isomorfe nel significato?
Tnks cmq per la spiegazione
Tnks cmq per la spiegazione
Esatto!!!
Tornando all'esempio iniziale...in $(x,y)$ prendi il punto $(1/2,sqrt3/2)$...questo, nel sistema $(x',y')$ corrisponde a $(1,0)$...ma in realtà il punto è sempre lo stesso nello spazio...si sono solo usati due modi diversi di chiamarlo...tra l'altro i modi di chiamarlo sono infiniti!!
Ciao ciao!!
Ciao ciao!!
capito!
Grazie mille... molto bella l'algebra lineare...
Grazie mille... molto bella l'algebra lineare...
è vecchio ma almeno non ne apro uno nuovo...
Avendo $F_t: RR^3 \to RR^3$ e $t \in RR$ t.c
$F_t(1,1,0) = (2,1+t,1)$
$F_t(t,0,1) = (3t, 0, 1+2t)$
$F_t(1,3,0) = (2,3+3t,1)$
Per trovare la matrice $A_t$ associata a $F_t$ nelle basi canoniche di $RR3$..
Io prendo ${(1,1,0), (t,0,1)(1,3,0)}$ e cerco con questi di esprimere ${e_1, e_2,e_3}$ e trovo i coefficienti.. poi con i vari coefficienti trovati trovo ${F_t(e_1), F_t(e_2),F_t(e_3)}$ e scrivo nella matrice $A_t$... il procedimento è giusto??
Ciauz
Avendo $F_t: RR^3 \to RR^3$ e $t \in RR$ t.c
$F_t(1,1,0) = (2,1+t,1)$
$F_t(t,0,1) = (3t, 0, 1+2t)$
$F_t(1,3,0) = (2,3+3t,1)$
Per trovare la matrice $A_t$ associata a $F_t$ nelle basi canoniche di $RR3$..
Io prendo ${(1,1,0), (t,0,1)(1,3,0)}$ e cerco con questi di esprimere ${e_1, e_2,e_3}$ e trovo i coefficienti.. poi con i vari coefficienti trovati trovo ${F_t(e_1), F_t(e_2),F_t(e_3)}$ e scrivo nella matrice $A_t$... il procedimento è giusto??
Ciauz
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