Matrice di cambiamento di base.

[galles90]

Buongiorno,

sto leggendo il capitolo inerente alla matrice di cambiamento di base, una buona parte del capitolo l'ho capita, eccetto la parte finale dove ho qualche dubbio, vi riporto il mio blocco :

Dati:

$A,A'$ basi di uno spazio vettoriale $V$, dove:

$A=|v_1,...,v_n|, A'=|v'_1 ,...,v'_n|$.

Dire che $B$ contiene per colonne le coordinate dei vettori della nuova base $A'$ rispetto alla vecchia base $A$ è equivalente a scrivere

$|v'_1 ,...,v'_n|=|v_1,...,v_n|B .$

la parte della teoria l'ho capita, l'unica cosa dove sono un po' ditubante è quando dice è equivalente...., cioè alla relazione che ho riportato.

Vi ringrazio in anticipo.

Cordiali saluti.

[anto_zoolander]

Non ti è chiaro come si arrivi a costruire la matrice?
Perchè quella frase dice proprio come costruire la matrice di passaggio.

[galles90]

No come si costruisce la matrice $B$ mi è chiaro, cioè la h-esima colonna di $B$ è data da

$B^h=F_A(v'_h).$

Forse ci sono, io dovre vedere la matrice $B$ come se fosse un'incognita e poi da lì ricavarmela.
Se è cosi mi è chiara questa relazione.

[anto_zoolander]

E' bene introdurre anche le notazioni usate

$F_A(v'_h)$ chi è?

diciamo che la matrice, che chiamo $P$, non è che sia del tutto una incognita... è la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare

\(\displaystyle \mathrm{id_V:V \rightarrow V} \)

rispetto a due basi \(\displaystyle \mathcal{B,B'} \) dello spazio \(\displaystyle \mathrm{V} \)

Perchè dici 'incognita'? quella frase dice esattamente come ricavare la matrice di passaggio.
Ovvero che se vuoi passare dalle coordinate di un vettore in una base a quelle dello stesso vettore in un'altra base, devi prendere la matrice che ha per colonne le coordinate delle combinazioni lineari dei vettori della prima base rispetto a quelli della seconda.

E' la stessa cosa di costruirla esplicitamente, non trovi?

[galles90]

Esattamente

"anto_zoolander":E' bene introdurre anche le notazioni usate

$ F_A(v'_h) $ chi è?

isomorfismo coordinato

Si,mi è tutto chiaro quello che mi stai spiegando.
L'unica cosa che non mi è molto chiaro è la relazione:

$ |v'_1 ,...,v'_n|=|v_1,...,v_n|B.$

cioè se dovessi "tradurre" la precedente relazione in questo:

$B$contiene per colonne le coordinate dei vettori della nuova base $A'$ rispetto alla vecchia base $A$ .

Forse ho un dubbio poco concreto