Matrice, determinare a e b in modo tale che det = 0

[DemisSkola]

la matrice in questione è una 5 x 5 che riporto di seguito con i valori separati da trattino :

1-a-0-0-0
a-1-0-0-0
0-0-1-b-a
0-a-b-1-0
0-0-0-a-1

Quest'esercizio viene proposto quasi sempre all'esame di analisi uno, con qualche variante.

Qualcuno avrebbe qualche suggerimento su come determinare i valori di a e b in modo tale che il determinante sia zero?

Avevo pensato di risolverlo con un sistema di cinque equazioni di primo grado, ma non ne sono uscito fuori....

[fireball-votailprof]

Io farei così:

riduci per righe (prima riga):

$((1,0,0,0),(0,1,b,a),(a,b,1,0),(0,0,a,1))-a*((a,0,0,0),(0,1,b,a),(0,b,1,0),(0,0,a,1))=...
$...=(1-a^2)*((1,b,a),(b,1,0),(0,a,1))

da cui il determinante risulta essere nullo se $a=+-1$.Sostituisci tale valore nella matrice e ottieni il valore di $b$

[DemisSkola]

"Andre@":Io farei così:

riduci per righe (prima riga):

$((1,0,0,0),(0,1,b,a),(a,b,1,0),(0,0,a,1))-a*((a,0,0,0),(0,1,b,a),(0,b,1,0),(0,0,a,1))=...
$...=(1-a^2)*((1,b,a),(b,1,0),(0,a,1))

da cui il determinante risulta essere nullo se $a=+-1$.Sostituisci tale valore nella matrice e ottieni il valore di $b$

Riprendendo la matrice iniziale

$((1,a,0,0,0),(a,1,0,0,0),(0,0,1,b,a),(0,a,b,1,0),(0,0,0,a,1))$

se moltiplico la prima riga per (a) ottengo

$((a,a^2,0,0,0),(a,1,0,0,0),(0,0,1,b,a),(0,a,b,1,0),(0,0,0,a,1))$


a questo punto sommo alla seconda riga la prima nella seconda

$((a,a^2,0,0,0),(2a,a^2+1,0,0,0),(0,0,1,b,a),(0,a,b,1,0),(0,0,0,a,1))$

moltiplico quindi la prima riga per (-1)

$((-a,-a^2,0,0,0),(2a,a^2+1,0,0,0),(0,0,1,b,a),(0,a,b,1,0),(0,0,0,a,1))$

se sommo la prima riga alla seconda nella seconda ottengo

$((-a,-a^2,0,0,0),(a, 1 ,0,0,0),(0,0,1,b,a),(0,a,b,1,0),(0,0,0,a,1))$


sommando alla terza riga la seconda nella terza

$((-a,-a^2,0,0,0),(a, 1 ,0,0,0),(a,1,1,b,a),(0,a,b,1,0),(0,0,0,a,1))$

sommando alla quarta la terza riga nella quarta

$((-a,-a^2,0,0,0),(-a,-1,0,0,0),(a,1,1,b,a),(a,1+a,1+b,b+1,a),(0,0,0,a,1))$

infine sommando alla quinta la quarta riga nella quinta ottengo

$((-a,-a^2,0,0,0),(-a,-1,0,0,0),(-a,-1,1,b,a),(a,1+a,1+b,b+1,a),(a,1+a,1+b,b+1+a,a+1))$


Quindi avendo una colonna di valori uguali (|a|) imponendo a = 0 la matrice ha sicuramente determinante nullo purchè b sia diverso da a , ovvero può assumere qualsiasi valore purchè diverso da zero.

Concordate?

[Zkeggia]

non è esatto in quanto quando moltiplichi una riga per uno scalare devi stare attento che lo scalare sia diverso da 0. Tu così facendo arrivi a dire che a = 0, ma allora proprio nel primo passaggio moltiplichi una riga per 0, cosa che non è consentita.

[DemisSkola]

"Sergio":Mi pare che l'unica strada ragionevole sia quella indicata da Andre@, anche non capisco perché la chiami "riduzione per righe".
Si tratta semplicemente di sviluppare il determinante. Partendo dalla prima colonna:
$|(1,0,0,0),(0,1,b,a),(a,b,1,0),(0,0,a,1)|-a*|(a,0,0,0),(0,1,b,a),(0,b,1,0),(0,0,a,1)|=...$
$...=(1-a^2)(1-b(b-a^2))$
Basta poi risolvere $1-a^2=0$ e $1-b(b-a^2)=0$.

ci sono arrivato...finalmente.
il calcolo del determinante si riduce solo a due fattori perchè nella prima riga abbiamo solo due valori diversi da zero quindi il determinante di :

$|(1,0,0,0),(0,1,b,a),(a,b,1,0),(0,0,a,1)|-a*|(a,0,0,0),(0,1,b,a),(0,b,1,0),(0,0,a,1)|

si ridurrà ulteriormente perchè all'interno di ciascun elemento abbiamo un solo elemento diverso da zero , e quindi :

$1*|(1,b,a),(b,1,0),(0,a,1)|-a*a*|(1,b,a),(b,1,0),(0,a,1)|

A questo punto il gioco è fatto , abbiamo due moduli (si puo' dire moduli?) esattamente indentici
che possiamo chiamere B, quindi

$B*(1-a^2) = 0

risolvo prima

$(1-a^2) = 0

e ottengo come detto all'inizio a = +1 e a = -1.

sostituisco i due valori di a in B e ottengo :

$-b^2 + b+1-1 = 0$ da cui b = 0 e b = 1, solo b=1 è un risultato corretto.

$-b^2 + b - 1 - 1 = 0$ da cui b = -2 e b = -1.

Riassumendo :

- per a = -1 il valore di b può essere solo uguale a 1 (perchè zero non è corretto)
- per a = +1 il valore di b può essere uguale a -1 oppure -2.

[indovina]

*Forse sono off topic
ma non riesco a capire il passaggio di Andrea riguardo al **riduci per righe (prima riga)** perchè la matrice iniziale prende quella forma? Cosa è che viene effettuato?

[DemisSkola]

"clever":*Forse sono off topic
ma non riesco a capire il passaggio di Andrea riguardo al **riduci per righe (prima riga)** perchè la matrice iniziale prende quella forma? Cosa è che viene effettuato?

Forse il termine riduzione per riga non è appropriato (per riduzione io mi riferisco a qualcos'altro), ma rende l'idea.
Acquista quella forma a motivo del calcolo del determinante come ha indicato saggiamente Sergio.
Prendi la matrice iniziale e calcola tutti i complementi algebrici della prima riga, lo puoi fare, ma in realtà cosa ottieni??? -->ottieni che gli ultimi tre sono pari a zero, quindi come ho indicato nel mio ultimo commento (finalmente ci sono arrivato...) ci troviamo per le mani solo due moduli.

Facci sapere quando ci sei arrivato pure tu.