Matrice del cambiamento di base
Ciao a tutti, sto preparando l'esame di Algebra Lineare, e ho bisogno gentilmente di una conferma riguardo ad una tipologia di esercizi. Ho uno spazio vettoriale, con due basi assegnate B e B'. Devo determinare la matrice di cambiamento di base: sul libro non ho esempi pratici di questi esercizi, quindi cerco di riassumere brevemente quel che ho fatto per risolverlo.
Attraverso un isomorfismo, cambio di base passando da B alla base canonica del mio spazio vettoriale V. Se avessi un'applicazione lineare che mi manda in un altro spazio W, dovrei a questo punto passare alla base canonica di W, ma in questo caso non ne ho bisogno (perché l'applicazione che mi descriverebbe questo passaggio è un endomorfismo no?). Quindi ripasso a questo punto dalla base canonica alla base B', sempre attraverso un isomorfismo. Chiamiamo M' la matrice di cambiamento di base da B a B' (quella che devo trovare), M quella che in questo caso posso "scartare" (nel senso che è la matrice identità che mi fa passare dalla canonica alla canonica), K quella che mi passa dalla canonica a B, K' quella che mi passa dalla canonica a B'. Quindi, infine, la mia matrice sarà
M'=K' M K
è giusto il ragionamento o no? Un'altra domanda: io avevo all'inizio avevo risolto l'esercizio in un altro modo, ovvero per esempio:
$B=\{(1,1,0),(-1,1,1),(0,1,2)\}, B'=\{(2,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)}$
l'idea è di trovare direttamente come posso scrivere i vettori di B come combinazione lineare di B': quindi devo sostanzialmente risolvere tre sistemi di equazioni con 3 incognite, che saranno le mie coordinate rispetto alla nuova base. Quindi non faccio altro che ottenere una matrice 3x3 con al posto delle colonne i vettori delle coordinate che saltano fuori dai 3 sistemi. E' giusto o no? Comunque il libro da cui ho preso l'esercizio è Linear Algebra del Lang.
Attraverso un isomorfismo, cambio di base passando da B alla base canonica del mio spazio vettoriale V. Se avessi un'applicazione lineare che mi manda in un altro spazio W, dovrei a questo punto passare alla base canonica di W, ma in questo caso non ne ho bisogno (perché l'applicazione che mi descriverebbe questo passaggio è un endomorfismo no?). Quindi ripasso a questo punto dalla base canonica alla base B', sempre attraverso un isomorfismo. Chiamiamo M' la matrice di cambiamento di base da B a B' (quella che devo trovare), M quella che in questo caso posso "scartare" (nel senso che è la matrice identità che mi fa passare dalla canonica alla canonica), K quella che mi passa dalla canonica a B, K' quella che mi passa dalla canonica a B'. Quindi, infine, la mia matrice sarà
M'=K' M K
è giusto il ragionamento o no? Un'altra domanda: io avevo all'inizio avevo risolto l'esercizio in un altro modo, ovvero per esempio:
$B=\{(1,1,0),(-1,1,1),(0,1,2)\}, B'=\{(2,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)}$
l'idea è di trovare direttamente come posso scrivere i vettori di B come combinazione lineare di B': quindi devo sostanzialmente risolvere tre sistemi di equazioni con 3 incognite, che saranno le mie coordinate rispetto alla nuova base. Quindi non faccio altro che ottenere una matrice 3x3 con al posto delle colonne i vettori delle coordinate che saltano fuori dai 3 sistemi. E' giusto o no? Comunque il libro da cui ho preso l'esercizio è Linear Algebra del Lang.
Risposte
up!
"GlipCiksetyBlok":
[...] Devo determinare la matrice di cambiamento di base: sul libro non ho esempi pratici di questi esercizi, quindi cerco di riassumere brevemente quel che ho fatto per risolverlo. [...]
Non ho letto quanto hai scritto dopo, quindi spero di non portarti fuori strada. In breve, ti faccio un esempio: consideriamo \(\displaystyle \mathbb{R}^{3} \) con la base canonica \(\displaystyle \mathcal{E}=\{e_{1},e_{2},e_{3} \} \); siano poi \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},v_{2},v_{3} \} \) e \(\displaystyle \mathcal{W}=\{w_{1},w_{2},w_{3} \} \) altre due basi di \(\displaystyle \mathbb{R}^{3} \). Ognuno dei vettori di \(\displaystyle \mathcal{V} \) e \(\displaystyle \mathcal{W} \) sarà combinazione lineare dei vettori della base canonica (non sto a scrivere tutte le coordinate generiche sennò mi ci vuole mezz'ora). Ora, la matrice \(\displaystyle 3 \times 3 \) \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{E}}(\text{id})=\begin{pmatrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{pmatrix} \] permette di passare dalla base \(\displaystyle \mathcal{V} \) alla base canonica, mentre la matrice \(\displaystyle 3 \times 3 \) \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{W},\mathcal{E}}(\text{id})=\begin{pmatrix}w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{pmatrix} \] permette di passare dalla base \(\displaystyle \mathcal{W} \) alla base canonica. Pertanto \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{W}}(\text{id})=\alpha_{\mathcal{W},\mathcal{E}}(\text{id})^{-1} \] permetterà di passare dalla base canonica alla base \(\displaystyle \mathcal{W} \), mentre \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\text{id})=\alpha_{\mathcal{E},\mathcal{W}}(\text{id}) \circ \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{E}}(\text{id}) \] permetterà di passare dalla base \(\displaystyle \mathcal{V} \) alla base \(\displaystyle \mathcal{W} \).
Se poi ci metti in mezzo anche un endomorfismo le cose si fanno ancora più interessanti.
Ma quindi sostanzialmente aggiungerci un endomorfismo non fa altro che aggiungere la matrice associata nella formula finale che hai tirato fuori no? Perché questa viene praticamente ignorata nel caso di un semplice cambiamento di base perché passando attraverso la matrice identità associata all'applicazione identica è come moltiplicare tutto per 1..mentre se appunto avessi una $f:V\rightarrow V$ generica dovrei anche passare per la matrice associata che non è detto essere uguale a quella identità! O sbaglio?
Grazie dell'aiuto comunque!
Grazie dell'aiuto comunque!
Non riesco a capire il tuo messaggio... Mi sembra piuttosto confuso.
Tu hai chiesto info intorno alla matrice di cambiamento di base, e tale matrice rappresenta un'identità perché "traduce" un vettore in sé medesimo: esso "parte" scritto come combinazione lineare di elementi di una certa base e "arriva" scritto come combinazione lineare di elementi di un'altra base. Quando definisci un endomorfismo, fornisci anche spazio di partenza, spazio d'arrivo e basi associate ad entrambi; dato un endomorfismo \(\displaystyle \phi : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\), la sua matrice associata potrebbe quindi non essere scritta secondo la base canonica, cioè potrebbe essere del tipo \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{W}} (\phi) \] Per "tradurla" sono necessarie le matrici di cambiamento di base \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{E}} (\phi)= \alpha_{\mathcal{W}, \mathcal{E}} (\text{id}) \circ \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{W}} (\phi) \circ \alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{V}} (\text{id}) \]
Ovviamente avrei potuto esporti tutta la questione da un punto di vista squisitamente e puramente algebrico, con il linguaggio dell'algebra lineare, ma probabilmente ti sarei risultato oscuro. Ho voluto pertanto privilegiare un approccio un po' più intuitivo.
Tu hai chiesto info intorno alla matrice di cambiamento di base, e tale matrice rappresenta un'identità perché "traduce" un vettore in sé medesimo: esso "parte" scritto come combinazione lineare di elementi di una certa base e "arriva" scritto come combinazione lineare di elementi di un'altra base. Quando definisci un endomorfismo, fornisci anche spazio di partenza, spazio d'arrivo e basi associate ad entrambi; dato un endomorfismo \(\displaystyle \phi : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\), la sua matrice associata potrebbe quindi non essere scritta secondo la base canonica, cioè potrebbe essere del tipo \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{W}} (\phi) \] Per "tradurla" sono necessarie le matrici di cambiamento di base \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{E}} (\phi)= \alpha_{\mathcal{W}, \mathcal{E}} (\text{id}) \circ \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{W}} (\phi) \circ \alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{V}} (\text{id}) \]
Ovviamente avrei potuto esporti tutta la questione da un punto di vista squisitamente e puramente algebrico, con il linguaggio dell'algebra lineare, ma probabilmente ti sarei risultato oscuro. Ho voluto pertanto privilegiare un approccio un po' più intuitivo.
Si sono partito chiedendo della matrice del cambiamento di base e sono arrivato a chiederti nel caso ci sia pure di mezzo un endomorfismo! Comunque poi era anche per ordinare un po' le idee e crearmi un mio schema mentale: è giusto quindi se penso al cambiamento di base come un caso particolare di quello che hai appena detto, con di mezzo l'applicazione identità semplicemente?
Comunque sinceramente, non sarò un genio, ma se per linguaggio dell'algebra lineare intendi il linguaggio del corso del primo anno, non farti problemi, anche perché il mio prof non se n'è fatti e mi risulteresti quindi magari un po' più difficile ma sicuramente più utile una volta arrivato ai concetti; grazie ancora comunque!
Comunque sinceramente, non sarò un genio, ma se per linguaggio dell'algebra lineare intendi il linguaggio del corso del primo anno, non farti problemi, anche perché il mio prof non se n'è fatti e mi risulteresti quindi magari un po' più difficile ma sicuramente più utile una volta arrivato ai concetti; grazie ancora comunque!
"GlipCiksetyBlok":
[...] Comunque poi era anche per ordinare un po' le idee e crearmi un mio schema mentale: è giusto quindi se penso al cambiamento di base come un caso particolare di quello che hai appena detto, con di mezzo l'applicazione identità semplicemente?
[...]
Sì, in qualche modo sì.
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