Matrice definita positiva e autovalori
Salve
Oltre alla definizione di matrice definita positiva ($x^*Ax>0$) ho trovato scritto: se A è Hermitiana ed è anche definita positiva, i suoi autovalori sono tutti positivi.
Nel fare gli esercizi però sembra che l' implicazione valga anche in verso opposto. Cioè che se gli autovalori di una matrice Hermitiana sono tutti positivi, allora la matrice si dice definita positiva.
Quindi si potrebbe dire che una matrice Hermitiana è definita positiva se è solo se i suoi autovalori sono tutti positivi.
Mi chiedo quindi se è vera questa implicazione in generale.
Oltre alla definizione di matrice definita positiva ($x^*Ax>0$) ho trovato scritto: se A è Hermitiana ed è anche definita positiva, i suoi autovalori sono tutti positivi.
Nel fare gli esercizi però sembra che l' implicazione valga anche in verso opposto. Cioè che se gli autovalori di una matrice Hermitiana sono tutti positivi, allora la matrice si dice definita positiva.
Quindi si potrebbe dire che una matrice Hermitiana è definita positiva se è solo se i suoi autovalori sono tutti positivi.
Mi chiedo quindi se è vera questa implicazione in generale.
Risposte
Se non ricordo male: bisogna un po' fare attenzione alle definizioni di endomorfismo lineare diagonalizzabile e forma bilineare dioganalizzabile!
Così, ad occhio, non mi sembra che l'implicazione inversa valga; ma potrei sbagliarmi!
Così, ad occhio, non mi sembra che l'implicazione inversa valga; ma potrei sbagliarmi!
Guardando su
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_d ... matworks-1
parrebbe che le due definizioni siano equivalenti ovvero
Se la parte Hermitiana $A_H$ di una matrice soddisfa $Re(x^*A_Hx)>0$ allora è definita positiva o in alternativa è definita positiva se tutti gli autovalori di $A_H$ sono strettamente positivi
In effetti il sito
https://www.quantiki.org/wiki/hermitian-matrix
riporta un teorema che afferma
A Hermitian matrix ... is positive definite if and only if all of its eigenvalues are positive.
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_d ... matworks-1
parrebbe che le due definizioni siano equivalenti ovvero
Se la parte Hermitiana $A_H$ di una matrice soddisfa $Re(x^*A_Hx)>0$ allora è definita positiva o in alternativa è definita positiva se tutti gli autovalori di $A_H$ sono strettamente positivi
In effetti il sito
https://www.quantiki.org/wiki/hermitian-matrix
riporta un teorema che afferma
A Hermitian matrix ... is positive definite if and only if all of its eigenvalues are positive.
Se $A$ è Hermitiana, la possiamo diagonalizzare per il teorema spettrale ottenendo $D$ diagonale (autovalori reali) con
$D=overline(U^T) A U$
$U^(-1)=overline(U^T)$ (ovvero $U$ è unitaria).
Quindi
$A = U D overline(U^T)$.
Se $v$ è un vettore qualunque, e $u=overline(U^T)v$, allora
$overline(v^T)Av = overline(u^T) D u$
è ovviamente positivo se tutti gli autovalori (gli elementi diagonali di $D$) sono positivi.
Quindi se $A$ è Hermitiana e i suoi autovalori sono positivi, allora $A$ è definita positiva.
$D=overline(U^T) A U$
$U^(-1)=overline(U^T)$ (ovvero $U$ è unitaria).
Quindi
$A = U D overline(U^T)$.
Se $v$ è un vettore qualunque, e $u=overline(U^T)v$, allora
$overline(v^T)Av = overline(u^T) D u$
è ovviamente positivo se tutti gli autovalori (gli elementi diagonali di $D$) sono positivi.
Quindi se $A$ è Hermitiana e i suoi autovalori sono positivi, allora $A$ è definita positiva.
Ora mi è più chiaro, vi ringrazio.
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