Matrice definita positiva
Non mi ricordo se una matrice per essere definita positiva basta avere tutti gli autovalori positivi o gli serve anche la proprietà di simmetria.
Cioè A definita positiva se:
A e simmetrica con autovalori positivi
A ha autovalori positivi.
O il dubbio che non basta avere solo autovalori positivi...
Grazie.
Cioè A definita positiva se:
A e simmetrica con autovalori positivi
A ha autovalori positivi.
O il dubbio che non basta avere solo autovalori positivi...
Grazie.
Risposte
Non è necessaria la proprietà di simmetria. Basta che gli autovalori siano tutti positivi.
Ad esempio, la matrice $A=((2,1),(0,1))$ è definita positiva. E ovviamente non è simmetrica
Ad esempio, la matrice $A=((2,1),(0,1))$ è definita positiva. E ovviamente non è simmetrica
grazie
Sicuro nel dubbio sono andata a vedere su più libri e sbuca sempre la proprietà di simmetria?
Veramente una matrice $A$ è definita positiva quando $vcdot Av > 0$ per ogni $v ne 0$. Quando $A$ è simmetica (o Hermitiana nel caso complesso), allora questo è equivalente all'avere tutti autovalori strettamente positivi. Se invece una matrice non è simmetrica il concetto diventa più fastidioso da gestire e per questo la maggior parte degli autori richiede a priori che $A$ sia simmetrica. Questa non è una grossa perdita di generalità.
Mi spiace ma serve simmetria. Purtroppo.
???
Non ho capito. Cosa intendi dire?
Non ho capito. Cosa intendi dire?
Esatto sommo dissonace, dall'alto dei cieli...serve la simmetria della matrice malefica... 
Cilberto+Sernesi...
Cilberto+Sernesi...
Intendo dire che:
Per affermare che una matrice è definita positiva deve avere tutti autovalori positivi ed essere simmetrica.
Per affermare che una matrice è definita positiva deve avere tutti autovalori positivi ed essere simmetrica.
Che fai, sfotti?
Come dicevo, per la maggior parte degli autori è così:
una matrice $A$ è definita positiva se è simmetrica e se $v cdot Av>0$ quando $v ne 0$.
Poi ci può essere qualcuno, come ad esempio Gi8, che non richiede la simmetria. Non ci sono problemi, solo che così diventa falso il teorema secondo cui una matrice è definita positiva se e solo se ha tutti gli autovalori strettamente positivi. Siccome questo fatto è brutto, meglio fare anche noi come la maggior parte degli autori e dire che una matrice, per essere definita positiva, deve pure essere simmetrica.
Come dicevo, per la maggior parte degli autori è così:
una matrice $A$ è definita positiva se è simmetrica e se $v cdot Av>0$ quando $v ne 0$.
Poi ci può essere qualcuno, come ad esempio Gi8, che non richiede la simmetria. Non ci sono problemi, solo che così diventa falso il teorema secondo cui una matrice è definita positiva se e solo se ha tutti gli autovalori strettamente positivi. Siccome questo fatto è brutto, meglio fare anche noi come la maggior parte degli autori e dire che una matrice, per essere definita positiva, deve pure essere simmetrica.
Si avete ragione 
Ti chiedo scusa squalllionheart
Ti chiedo scusa squalllionheart
ok ok
Non ti sfotto, come potrei, intervieni sempre a salvarmi in tempi flash.
Non ti sfotto, come potrei, intervieni sempre a salvarmi in tempi flash.
Tranquillo Gi8, siamo umani ;D
"squalllionheart":
Tranquillo Gi8, siamo umani ;D
Certo. Anzi, meno male che lo siamo e che ogni tanto sbagliamo, se no sai che noia?
Tornando un attimo sulla questione, effettivamente è un problema di definizioni.
Mi è sempre stato detto che la matrice definita positiva non è necessariamente simmetrica
(e infatti ricordo tantissimi esercizi dove si diceva: "Si consideri $A$, matrice definita positiva e simmetrica..."),
ma guardando in rete e soprattutto qui sul forum ho notato che nella maggior parte dei casi la definizione prevede che lo sia.
Ora so qualcosa in più anch'io
Ma sai qual è il punto, Gi8? Ogni matrice quadrata $A$ si può scomporre in una somma come
$A=1/2(A+A^T)+1/2(A-A^T)$
e il primo addendo è una matrice simmetrica, il secondo una matrice antisimmetrica. Tra l'altro questa decomposizione è pure unica: il primo addendo si dice parte simmetrica ($A_{"sym"}$) e il secondo parte antisimmetrica ($A_{"skew"}$) della matrice $A$. Ora vedi facilmente che quando $A$ agisce come forma quadratica, la parte antisimmetrica non è rilevante, perché ogni matrice antisimmetrica dà luogo alla forma quadratica nulla. Difatti sia $S=-S^T$. Allora per ogni vettore $v$ si ha
$v cdot S v= -v cdot Sv$
quindi $v cdot S v equiv 0$. Perciò la forma quadratica associata alla matrice $A$ coincide con la forma quadratica associata alla matrice $A_{"sym"}$; ora la proprietà di essere definita di segno è una proprietà della forma quadratica associata ad $A$, più che della matrice $A$ in sé, quindi è una proprietà di $A_{"sym"}$ più che di $A$. Ecco perché non si perde generalità nel parlare di definitezza di segno direttamente solo per le matrici simmetriche.
$A=1/2(A+A^T)+1/2(A-A^T)$
e il primo addendo è una matrice simmetrica, il secondo una matrice antisimmetrica. Tra l'altro questa decomposizione è pure unica: il primo addendo si dice parte simmetrica ($A_{"sym"}$) e il secondo parte antisimmetrica ($A_{"skew"}$) della matrice $A$. Ora vedi facilmente che quando $A$ agisce come forma quadratica, la parte antisimmetrica non è rilevante, perché ogni matrice antisimmetrica dà luogo alla forma quadratica nulla. Difatti sia $S=-S^T$. Allora per ogni vettore $v$ si ha
$v cdot S v= -v cdot Sv$
quindi $v cdot S v equiv 0$. Perciò la forma quadratica associata alla matrice $A$ coincide con la forma quadratica associata alla matrice $A_{"sym"}$; ora la proprietà di essere definita di segno è una proprietà della forma quadratica associata ad $A$, più che della matrice $A$ in sé, quindi è una proprietà di $A_{"sym"}$ più che di $A$. Ecco perché non si perde generalità nel parlare di definitezza di segno direttamente solo per le matrici simmetriche.
@dissonance: Grazie mille per l'ultimo post. 
Wheilà! T'è piaciuto? Sono proprio contento! 
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