Matrice definita positiva
in un esercizio viene studiata la stabilita di una matrice affermando che essa è positiva.
Uno dei criteri (ma ve ne sono altri) è quello di ricavare gli autovalori della matrice.
$((k,(-MkL)/(2m),0),((-MkL)/(2m),(mg)^2/k,0),(0,0,(mgl)/sqrt(2)))$
dove la condizione di positività della matrice è vera se $MkL<2m^2g$ si noti che M e m sono 2 costanti diverse.
Questa matrice deriva direttamente da uno studio di stabilità all'equilibrio di un esercizio ma non è importante per ora in quanto l'unica cosa che vi chiedo è
come verificare che è positiva. Ho provato a calcolarne il determinante per la ricerca degli autovalori ma quando calcolo le soluzioni del polinomio di secondo ordine mi pianto nel senso che a meno di semplificazioni che non ho visto occorre studiare la radice ma.....mi sembra un po' esagerato per un esercizio da libro di meccanica, quindi il dubbio non è che mi è sfuggito qualche cosa?
grazie
Uno dei criteri (ma ve ne sono altri) è quello di ricavare gli autovalori della matrice.
$((k,(-MkL)/(2m),0),((-MkL)/(2m),(mg)^2/k,0),(0,0,(mgl)/sqrt(2)))$
dove la condizione di positività della matrice è vera se $MkL<2m^2g$ si noti che M e m sono 2 costanti diverse.
Questa matrice deriva direttamente da uno studio di stabilità all'equilibrio di un esercizio ma non è importante per ora in quanto l'unica cosa che vi chiedo è
come verificare che è positiva. Ho provato a calcolarne il determinante per la ricerca degli autovalori ma quando calcolo le soluzioni del polinomio di secondo ordine mi pianto nel senso che a meno di semplificazioni che non ho visto occorre studiare la radice ma.....mi sembra un po' esagerato per un esercizio da libro di meccanica, quindi il dubbio non è che mi è sfuggito qualche cosa?
grazie
Risposte
Dal metodo dei minori principali trovi subito la tua condizione (però la positività è per matrici simmetriche, la tua non lo è, cmq):
devi verificare che il determinante di ogni minore sia maggiore di zero e nel tuo caso:
1) det (k) > 0
2) $det(((k,-m*g),(-M*k*L/(2*m), (m*g)^2/k)) > 0$ da qua segue la condizione che hai scritto.
Cmq dovresti ora trovare anche il determinante della tua 3x3-mat per assicurare che il punto 2) valga.
devi verificare che il determinante di ogni minore sia maggiore di zero e nel tuo caso:
1) det (k) > 0
2) $det(((k,-m*g),(-M*k*L/(2*m), (m*g)^2/k)) > 0$ da qua segue la condizione che hai scritto.
Cmq dovresti ora trovare anche il determinante della tua 3x3-mat per assicurare che il punto 2) valga.
OK ci sono..per la 3x3 ricavo $mgl/sqrt(2)*((mg)^2-(gMkL)/2)>0$ nel senso che sfrutto la terza colonna che ha 2 zeri ed un
termine diverso da zero....se non ricordo male è indifferente per il calcolo del determinante.....
termine diverso da zero....se non ricordo male è indifferente per il calcolo del determinante.....
"brssfn76":
OK ci sono..per la 3x3 ricavo $mgl/sqrt(2)*((mg)^2-(gMkL)/2)>0$ nel senso che sfrutto la terza colonna che ha 2 zeri ed un
termine diverso da zero....se non ricordo male è indifferente per il calcolo del determinante.....
esatto, è indifferente la riga o la colonna che scegli.
ciao ciao
per il teorema di silvester una matrice è definita positiva se tutti i minori principali di testa sono maggiori di zero....
quindi nel tuo caso dei verificare:
A11>0
$ det ( (A11 A12),(A21 A22) ) >0 $
e determinante di tutta la matrice maggiore di zero.
quindi nel tuo caso dei verificare:
A11>0
$ det ( (A11 A12),(A21 A22) ) >0 $
e determinante di tutta la matrice maggiore di zero.
dimensionalmente non mi convince quella matrice......
nella prima colonna hai al primo rigo una forza per unita di lunghezza,
al secondo una forza.
questi dovrebbero moltiplicare lo stesso parametro....
nella seconda colonna hai:
una forza prima riga
forza per lunghezza alla seconda riga.....
inoltre si ti sono usciti tutti zeri quei termini vuol dire che l'altro parametro langrangiano....(rotazione?) è disaccoppiato dagli altri ed ha una equazione del moto propria indipendente dal resto ....
Sono considerazioni che faccio cosi al volo, potrebbero essere del tutto sbagliate, ma controllare meglio tu che hai il problema davanti non guasta.
Ciao
nella prima colonna hai al primo rigo una forza per unita di lunghezza,
al secondo una forza.
questi dovrebbero moltiplicare lo stesso parametro....
nella seconda colonna hai:
una forza prima riga
forza per lunghezza alla seconda riga.....
inoltre si ti sono usciti tutti zeri quei termini vuol dire che l'altro parametro langrangiano....(rotazione?) è disaccoppiato dagli altri ed ha una equazione del moto propria indipendente dal resto ....
Sono considerazioni che faccio cosi al volo, potrebbero essere del tutto sbagliate, ma controllare meglio tu che hai il problema davanti non guasta.
Ciao
un'altra cosa che mi sembra strana è che non è simmetrica.....
"Conte_De_Saint_venant":
un'altra cosa che mi sembra strana è che non è simmetrica.....
Infatti sono andato a vedere su wikipedia la def di matrice positiva e me la da sotto le matrici simmetriche.......questo cosa vuol dire che se la matrice non è simmetrica la ricerca dei determinanti dei monori è sbagliata?
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_definita_positiva
Ora guardo un po' il vecchio Apostol per vedere cosa dice....
In effetti una coordinata è disaccoppiata dalle altre, si tratta il problema di una sbarra percorsa da una molla dove un estremo è vincolato ad un piano verticale su cui è anche fissato l'estremo della molla; l'altro estremo è libero di muoversi e l'estremo libero della molla che scorre sull'asta è vincolato ad un baricentro-centro dimassa di un'altra asta. L'angolo di questa altra asta che forma con la verticale discendente è quella coordinata disaccoppiata, poi ci sono s che indica l'estensione della molla e theta l'angolo della prima sbarretta con la verticale discendente. Ovviamente quella matrice è nella configurazione di equilibrio trovata e la definisce stabile in quanto "definita positiva"......(e qui sta il punto cioè deve essere necessariamente simmetrica?)
non ho ben capito il l'esercizio.....magari postami la traccia o il libro da dove hai preso l'esercizio e vedi che ti so dire.....
Comunque stai usando il teorema di Dirichlet giusto?
Quei termini fuori diagonale dovrebbero essere le derivate parziale seconde miste del funzionale dell'energia.....per il teorema di Schwarz sono uguali.
Quindi deve essere simmetrica.....
Ad ogni modo una matrice non mi sembra che debba essere per forza simmetrica per essere definita positiva.....se è simmetrica e definita positiva ha autovalori tutti positivi.....Da wikipedia è abbastanza inesatto, cioè se non è simmetrica non puoi usare il criterio di Sylvester o Jacobi.
Una matrice è definita positiva se ha questa propietà:
$v*(Av)>0$
Comunque stai usando il teorema di Dirichlet giusto?
Quei termini fuori diagonale dovrebbero essere le derivate parziale seconde miste del funzionale dell'energia.....per il teorema di Schwarz sono uguali.
Quindi deve essere simmetrica.....
Ad ogni modo una matrice non mi sembra che debba essere per forza simmetrica per essere definita positiva.....se è simmetrica e definita positiva ha autovalori tutti positivi.....Da wikipedia è abbastanza inesatto, cioè se non è simmetrica non puoi usare il criterio di Sylvester o Jacobi.
Una matrice è definita positiva se ha questa propietà:
$v*(Av)>0$
"Conte_De_Saint_venant":
non ho ben capito il l'esercizio.....magari postami la traccia o il libro da dove hai preso l'esercizio e vedi che ti so dire.....
Comunque stai usando il teorema di Dirichlet giusto?
Quei termini fuori diagonale dovrebbero essere le derivate parziale seconde miste del funzionale dell'energia.....per il teorema di Schwarz sono uguali.
Quindi deve essere simmetrica.....
Ad ogni modo una matrice non mi sembra che debba essere per forza simmetrica per essere definita positiva.....se è simmetrica e definita positiva ha autovalori tutti positivi.....Da wikipedia è abbastanza inesatto, cioè se non è simmetrica non puoi usare il criterio di Sylvester o Jacobi.
Una matrice è definita positiva se ha questa propietà:
$v*(Av)>0$
Hai ragione ho ricontrollato i calcoli e la matrice ora è simmetrica (l'ho corretta su nel primo messaggio).
Calcolando il determinate dei minori delle 3 sottomatrici vengono tutti positivi nelle condizioni che Mkl<2m^2g.
L'esercizio è tratto da un vecchio ma utile libro di esercizi "Problemi di meccanica raz." Bampi Benati Morro esercizio 5.3.6 se non lo trovi eventualmente ti scrivo il problema ma per adesso direi che i miei dubbi sono stati risolti. Se incontrero ulteriori problemi sull'esercizio li metterò in questo post...... infatti l'esercizio mica è finito!!
il libro non lo conosco....comunqu se hai dubbi postameli tranquillamente sarò ben lieto di risponderti. Avevi messo un altro quesito su un altro post ma non ho avuto il tempo di risponderti...lo faccio adesso sinteticamente: ricorda che la hamiltoniana è la trasformata di legendre della langrangiana...per questo quella trasformazione "strana".
Comunque io ho studiato per la teoria dal Mauro Fabrizio - Elementi di meccanica classica - Zanichelli
come esercizi il bressan grioli purtroppo non ricord il titolo. Ti consiglio molto il primo...ottimo libro.
Ciao
Comunque io ho studiato per la teoria dal Mauro Fabrizio - Elementi di meccanica classica - Zanichelli
come esercizi il bressan grioli purtroppo non ricord il titolo. Ti consiglio molto il primo...ottimo libro.
Ciao
"Conte_De_Saint_venant":
il libro non lo conosco....comunqu se hai dubbi postameli tranquillamente sarò ben lieto di risponderti. Avevi messo un altro quesito su un altro post ma non ho avuto il tempo di risponderti...lo faccio adesso sinteticamente: ricorda che la hamiltoniana è la trasformata di legendre della langrangiana...per questo quella trasformazione "strana".
Comunque io ho studiato per la teoria dal Mauro Fabrizio - Elementi di meccanica classica - Zanichelli
come esercizi il bressan grioli purtroppo non ricord il titolo. Ti consiglio molto il primo...ottimo libro.
Ciao
Per quel quesito per risolverlo credo si debba trovare la funzione generatrice che lega i due sistemi di coordinate fibrate.......ho provato mettendomi in coordinate miste ma per ora ho pasticciato qualcosa.....ora sono fuori appena rientro a casa provo ancora una idea che mi balena da un po' nella testa e se non ne ricavo nulla ti posto al completo la traccia dell'esercizio.....magari a te viene in mente qualcosa che a me sfugge.
bye
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo