Matrice con parametro h: autovalori, base ortonormale, matrice diagonalizzabile

[nikolas.fiorotto]

Buongiorno a tutti,
qualcuno potrebbe darmi una mano a risolvere alcune parti del seguente esercizio?


Per ogni $hinRR$ si consideri la matrice $A_h$ = $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , h ),( 0 , 0 , 2 ) ) $

1) Determinare tutti gli autovalori di $A_h$, verificando che siano indipendenti da $hinRR$ e trovare i valori di $hinRR$ per cui $A_h$ risulta diagonalizzabile.

2) Posto $h=0$ determinare una base per ogni autospazio di $A_0$ e trovare una base ortonormale di $RR^3$.

3) Determinare una matrice ortogonale $P$ $inRR^(3,3)$ e una matrice $D$$inRR^(3,3)$ diagonale tali che $P^(-1)$ $A_0$ $P=D$ .


In particolare avrei bisogno di un aiuto nel punto 1 e nella seconda parte del punto 2. Il resto dovrebbe essere eseguito in modo corretto giusto?

SVOLGIMENTO:

PUNTO 2:

$A_0$ = $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ $=>$ $Det|$ $A_0$ $–tI|$ = $ ( ( 1-t , 1 , 0 ),( 1 , 1-t , 0 ),( 0 , 0 , 2-t ) ) $ = $-t*(t2-4t+4)$


$\lambda_0$ = $0$ , $\lambda_1$ = $2$ con molteplicità $2$

$A_(\lambda0)$ = $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ $=>$ $\{(x = -y),(z = qualsiasi):}$ $=>$ $V_(A\lambda0)$ = $£ {(-1,1,0)}$

$A_(\lambda1)$ = $ ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ $=>$ $\{(x = y),(z = qualsiasi):}$ $=>$ $V_(A\lambda1)$ = $£ {(0,0,1),(1,1,0)}$


Come trovo una base ortonormale di $RR^3$?

PUNTO 3:

$P$ = $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ e $D$ = $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $


Grazie mille in anticipo!!

[cooper1]

ha fatto un po' di errori di distrazione
allora per il punto 1 devi semplicemente calcolare gli autovalori (come hai correttamente calcolato al punto 2) e notare che non dipendono da $h$. dopodiché devi studiare la diagonizzabilità della matrice andando a confrontare le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori. nel fare questo troverai dei valori di h per cui la matrice è diagonizzabile (ovvero devi fare in modo che le molteplicità coincidano).
il punto 2 hai capito lo svolgimento ma hai sbagliato a scrivere la matrice di $lambda=0$ anche se poi l'autovettore è corretto.
a questo punto affiancando i tre autovettori ottieni una base di autovettori. per trovare una base ortonormale di $RR^3$ non devi far altro che ortonormalizzare con il procedimento di Gram-Schmidt. lo conosci?

al punto 3 la matrice $D$ è corretta nella $P$ penso che tu intendessi scrivere $ ( ( -1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $

se così fosse allora è corretta anche la P.

[nikolas.fiorotto]

Ciao Cooper intanto grazie per la risposta.
Vado con ordine:

PUNTO 1:

- nel calcolo degli autovalori qualsiasi valore assuma $h$ essi non varieranno;

- per lo studio della diagonalizzabilità abbiamo come detto prima:

$\lambda_0$ = $0$ ,$\lambda_1$ = $2$ con molteplicità $2$

con $h=0$ la molteplicità algebrica e geometrica di $\lambda=0$ non coindono in quanto:

$M_a(0)$ = $1$ e $M_g$ $(0)$ = $n$ - $rango$ $((1,1,0),(0,0,2),(0,0,0))$ = $3$ - $1$ = $2$

$M_a(0)$ $!=$ $M_g$ $(0)$ quindi non è diagonalizzabile.

Provando con altri valori di $h$ sia negativi che positivi la matrice risulta ugualmente non diagonalizzabile, vorrei capire cosa sbaglio?

Vorrei capire prima questo punto prima di passare all'ortonormalizzazione nel punto 2.

(PUNTO 3: esatto ho commesso un errore di trascrizione.)

[cooper1]

stai facendo un po' di confusione e penso anche tu stia sbagliando i conti. per il punto 1 il parametro lo devi considerare non diventa zero! gli autovalori sono quelli. ora calcoliamo gli autospazi (per confrontare le molteplicità):
$lambda=0$
$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , h ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ il cui sistema associato è:
$ $ { ( -x+y=0 ),( x-y+hz=0 ),( z in RR ):} hArr { ( x=y ),(hz=0 ),( z in RR ):} $ $
Un generico vettore è allora $ ( ( -y ),( y ),( 0 ) ) =y ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) $ che è quindi l'autovettore. la molteplicità è sempre ok $AA h in RR$
prima pensavo avessi sbagliato solo a scrivere la matrice ma hai sbagliato anche questa volta quindi credo ci sia qualche calcolo errato. inoltre adesso hai anche sbagliato il sistema prima invece no.

se adesso invece $lambda=2$ il cui sistema associato è:
$ ( ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , h ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
la molteplicità geometrica è uguale a 2 solo nel caso $h=0$. in questo caso come prima hai calcolato come autovalori si ottengono: $ (1,1,0) ^^ (0,0,1) $
se invece fosse $z=0$ si avrebbe che la molteplicità geometrica è 1 è quindi la matrice non è diagonalizzabile.
in conclusione l'unico valore di $h$ che diagonalizza la matrice $h=0$.

[nikolas.fiorotto]

Grazie Cooper, mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua e dietro alcuni errori di calcolo.

Per quanto riguarda la seconda parte del punto 2 invece l'ortonormalizzazione tramite Gram-Schmidt dovrebbe essere la seguente:

ORTOGONALIZZAZIONE:

$v_1$ = $((-1,1,0))$; $v_2$ = $((0,0,1))$; $v_3$ = $((1,1,0))$


$w_1$ = $v_1$ = $((-1,1,0))$


$w_2$ = $v_2$ $-$ $(v_2*w_1)/(w_1*w_1)*w_1$ = = $((0,0,1))$ $-$ $(0)/(2)*((-1,1,0))$ = $((0,0,1))$


$v_2*w_1$ = $((0,0,1))*((-1,1,0))$ = $0$

$w_1*w_1$ = $((-1,1,0))*((-1,1,0))$ = $2$


$w_3$ = $v_3$ $-$ $(v_3*w_1)/(w_1*w_1)*w_1$ $-$ $(v_3*w_2)/(w_2*w_2)*w_2$ = $((1,1,0))$ $-$ $(0)/(2)*((-1,1,0))$ $-$ $(0)/(1)*((0,0,1))$ = $((1,1,0))$


$v_3*w_1$ = $((1,1,0))*((-1,1,0))$ = $0$

$v_3*w_2$ = $((1,1,0))*((0,0,1))$ = $0$

$w_2*w_2$ = $((0,0,1))*((0,0,1))$ = $1$


ORTONORMALIZZAZIONE:

$e_1$ = $(w_1)/(||w_1||)$ = $(((-1,1,0)))/(sqrt(2))$ = $((-1/sqrt(2),1/sqrt(2),0))$

$e_2$ = $(w_2)/(||w_2||)$ = $(((0,0,1)))/1$ = $((0,0,1))$

$e_3$ = $(w_3)/(||w_3||)$ = $(((1,1,0)))/(sqrt(2))$ = $((1/sqrt(2),1/sqrt(2),0))$

Giusto?

[cooper1]

mi sembra tutto corretto. solo una piccolissima precisazione. quando dici "ORTONORMALIZZAZIONE" sei un po' impreciso: i vettore sono già ortogonali, lì stai solo normalizzando

[nikolas.fiorotto]

ok quindi ORTONORMALIZZAZIONE sarebbe ORTOGONALIZZAZIONE più la successiva NORMALIZZAZIONE!!

Grazie mille dell'aiuto!!

[cooper1]

"Spirits6":ok quindi ORTONORMALIZZAZIONE sarebbe ORTOGONALIZZAZIONE più la successiva NORMALIZZAZIONE!!

esatto

"Spirits6":Grazie mille dell'aiuto!!

figurati