Matrice con parametro

[jrave]

Buon pomeriggio a tutti, spero mi sappiate aiutare con questo piccolo dubbio che ho.
Data la matrice $M=((1,h),(1,1))$, con $h$ parametro reale, perchè $M$ ammette inversa se e soltanto se anche $M^2$ ammette inversa?

[_prime_number]

Se $M$ ha inversa allora chiaramente ce l'ha anche $M^2$.
Per l'altra implicazione ti consiglio di calcolare esplicitamente $M^2$ e ricordare che una matrice ammette inversa se e solo se ha determinante non nullo.

Paola

[vict85]

Usando le proprietà delle matrici [tex]\det(A^2) = \det(A)\det(A) = \det(A)^2[/tex]. Quindi se [tex]\det(A^2)[/tex] è diversa da [tex]0[/tex] anche [tex]\sqrt{\det(A^2)}[/tex] è diversa da zero*.


Nel caso specifico

[tex]\displaystyle M^2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & h \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & h \\ 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1+h & 2h \\ 2 & 1+h \end{array} \right)[/tex]

[tex]\det(M^2) = (1+h)^2 - 2h = 1 + h^2 +2h -4h = 1+h^2 - 2h = (1-h)^2[/tex]


* [tex]\sqrt{\det(A^2)}[/tex] è definito perché [tex]\det(A^2)[/tex] è non negativo nei reali.

[jrave]

grazie a tutti dell'aiuto!