Matrice compagna
Ciao a tutti! 
Ho un problema che riguarda l'uso furbo delle matrici compagne.
Data un'applicazione lineare, mettiamo \(\displaystyle \phi: V \rightarrow V\) con \(\displaystyle dimV=n \) , so che esiste un vettore \(\displaystyle w \) tale che \(\displaystyle (w, \phi(w), \phi^2(w),...,\phi^{n-1}(w)) \) forma una base di \(\displaystyle V \)
Ora, vorrei dimostrare non solo che la matrice di \(\displaystyle \phi \) è simile alla matrice compagna del suo polinomio caratteristico (o minimo, che in questo caso dovrebbero coincidere), ma anche che la base appena costruita è la stessa base con cui posso costruire la matrice compagna...
Suggerimenti?
Grazie
EC
Ho un problema che riguarda l'uso furbo delle matrici compagne.
Data un'applicazione lineare, mettiamo \(\displaystyle \phi: V \rightarrow V\) con \(\displaystyle dimV=n \) , so che esiste un vettore \(\displaystyle w \) tale che \(\displaystyle (w, \phi(w), \phi^2(w),...,\phi^{n-1}(w)) \) forma una base di \(\displaystyle V \)
Ora, vorrei dimostrare non solo che la matrice di \(\displaystyle \phi \) è simile alla matrice compagna del suo polinomio caratteristico (o minimo, che in questo caso dovrebbero coincidere), ma anche che la base appena costruita è la stessa base con cui posso costruire la matrice compagna...
Suggerimenti?
Grazie
EC
Risposte
Senza definizioni non troverai molto ascolto... Cos'è una "matrice compagna", ad esempio?
Se è così mi scuso... pensavo fosse cosa già nota!
Rimediamo: dato un polinomio \(\displaystyle P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_{n-1}x^{n-1}+c_nx^n \)
la sua matrice compagna è definita come:
C=$((0,0,...,0,-c_0),(1,0,...,0,-c_1),(0,1,...,0,-c_2),(...,...,...,...,...),(0,0,...,1,-c_{n-1}))$
Una sua proprietà è che ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a P, quindi i suoi autovalori sono le radici di P.
Ma da qui non riesco a dimostrare la proprietà detta sopra...
Rimediamo: dato un polinomio \(\displaystyle P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_{n-1}x^{n-1}+c_nx^n \)
la sua matrice compagna è definita come:
C=$((0,0,...,0,-c_0),(1,0,...,0,-c_1),(0,1,...,0,-c_2),(...,...,...,...,...),(0,0,...,1,-c_{n-1}))$
Una sua proprietà è che ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a P, quindi i suoi autovalori sono le radici di P.
Ma da qui non riesco a dimostrare la proprietà detta sopra...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo