Matrice cambio di base e coordinate
Ciao a tutti, ho la seguente domanda: se ho due basi, B={(0,1,1),(1,01,),(1,1,0)} e B’={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} e il vettore P=(1,2,3), qual è la differenza della matrice cambio di base da B a B’ e quella di cambio di coordinate? E come le calcolo?
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
Da quanto ricordo, supponiamo di avere due basi $\mathcal{E} ={e_1,...,e_n} ,\mathcal{F} = {f_1,...,f_n}$ in $V$ di dimensione finita $n$. Allora posso esprimermi gli elementi della base $\mathcal{F}$ come combinazione di quelli della base $,mathcal{E}$. Quindi prendo $f_i = S_{1i} e_1 + ... + S_{ni} e_n$, lo faccio per tutti gli $f_i$ ottenendo una matrice:
$f_i = \sum_{j=1}^{n}S_{ji}e_{j}, i \in [1,n]$.
Adesso prendi un vettore $v \in V$ e possiamo esprimerlo in due modi equivalenti:
$v = \sum_i v_i^e e_i = \sum_i v_i^f f_i$
con un pò di calcoli dovresti arrivare, per confronto a questo risultato:
$v_i^e = \sum_j S_{ij}v_j^f$, il segnificato di quest'ultima è abbastanza evidente:
le coordinate di $v$ rispetto a $\mathcal{E} $ si ottengono ''applicando'' la matrice di cambiamento di base da $\mathcal{E} \to \mathcal{F}$. Quindi, la matrice $S(\mathcal{E} \to \mathcal{F})$ ti trasforma le coordinate del vettore rispetto alla nuova base in quelle della vecchia
$f_i = \sum_{j=1}^{n}S_{ji}e_{j}, i \in [1,n]$.
Adesso prendi un vettore $v \in V$ e possiamo esprimerlo in due modi equivalenti:
$v = \sum_i v_i^e e_i = \sum_i v_i^f f_i$
con un pò di calcoli dovresti arrivare, per confronto a questo risultato:
$v_i^e = \sum_j S_{ij}v_j^f$, il segnificato di quest'ultima è abbastanza evidente:
le coordinate di $v$ rispetto a $\mathcal{E} $ si ottengono ''applicando'' la matrice di cambiamento di base da $\mathcal{E} \to \mathcal{F}$. Quindi, la matrice $S(\mathcal{E} \to \mathcal{F})$ ti trasforma le coordinate del vettore rispetto alla nuova base in quelle della vecchia
In caso ti servissero i calcoli completi stasera modificherò il messaggio e li riporterò per intero ( li ho appena terminato di rifare), così da rendere tutto più chiaro. Purtroppo ora ho lezione
Si grazie, se non è un problema può mostrarmi anche i calcoli? Così riesco a vedere come applicare la teoria! Ancora grazie!
$ v_1^{f} (S_{11}e_1+S_{21}e_2+...+S_{n1}e_n)+v_2^{f} (S_{12}e_1+S_{22}e_2+...+S_{n2}e_n)+...+v_n^{f} (S_{1n}e_1+S_{2n}e_2+...+S_{\n\n}e_\n) $$ v_1^{f} (S_{11}e_1+S_{21}e_2+...+S_{n1}e_n)+v_2^{f} (S_{12}e_1+S_{22}e_2+...+S_{n2}e_n)+...+v_n^{f} (S_{1n}e_1+S_{2n}e_2+...+S_{\n\n}e_\n) $Non mi dia del lei, ho solo 20 anni hahahah. Da adesso le somme andranno da $1,n$ senza che scriva gli estremi ogni volta per comodità.
$\sum_i v_i^f f_i = \sum_i v_i^f \sum_j S_{ji}e_j$. Adesso scambio gli indici $i$ e $j$. Tale operazione non comporta cambiamenti ovviamente (puoi verificarlo anche tu e otterrai la stessa identica cosa ovviamente)
$\sum_i v_i^f \sum_j S_{ji}e_j = \sum_j v_j^f \sum_i S_{ij}e_i $
Sviluppando l'ultima espressione si ottiene:
$v_1^{f} (S_{11}e_1+S_{21}e_2+...+S_{n1}e_n)+v_2^{f} (S_{12}e_1+S_{22}e_2+...+S_{n2}e_n)+...+v_n^{f} (S_{1n}e_1+S_{2n}e_2+...+S_{\n\n}e_\n) $
Adesso, raccogliendo i coefficienti di $e_1,e_2...,e_n$ ottengo invece:
$v_1^{f} (S_{11}e_1+S_{21}e_2+...+S_{n1}e_n)+v_2^{f} (S_{12}e_1+S_{22}e_2+...+S_{n2}e_n)+...+v_n^{f} (S_{1n}e_1+S_{2n}e_2+...+S_{\n\n}e_\n) = \sum_i e_i(\sum_j S_{ij}v_j^f)$
Per confronto con l'espressione $v = sum_i v_i^{e} e_i$ segue proprio:
$v_i^{e} = \sum_j S_{ij}v_j^f$
Spero di essere stato chiaro.
$\sum_i v_i^f f_i = \sum_i v_i^f \sum_j S_{ji}e_j$. Adesso scambio gli indici $i$ e $j$. Tale operazione non comporta cambiamenti ovviamente (puoi verificarlo anche tu e otterrai la stessa identica cosa ovviamente)
$\sum_i v_i^f \sum_j S_{ji}e_j = \sum_j v_j^f \sum_i S_{ij}e_i $
Sviluppando l'ultima espressione si ottiene:
$v_1^{f} (S_{11}e_1+S_{21}e_2+...+S_{n1}e_n)+v_2^{f} (S_{12}e_1+S_{22}e_2+...+S_{n2}e_n)+...+v_n^{f} (S_{1n}e_1+S_{2n}e_2+...+S_{\n\n}e_\n) $
Adesso, raccogliendo i coefficienti di $e_1,e_2...,e_n$ ottengo invece:
$v_1^{f} (S_{11}e_1+S_{21}e_2+...+S_{n1}e_n)+v_2^{f} (S_{12}e_1+S_{22}e_2+...+S_{n2}e_n)+...+v_n^{f} (S_{1n}e_1+S_{2n}e_2+...+S_{\n\n}e_\n) = \sum_i e_i(\sum_j S_{ij}v_j^f)$
Per confronto con l'espressione $v = sum_i v_i^{e} e_i$ segue proprio:
$v_i^{e} = \sum_j S_{ij}v_j^f$
Spero di essere stato chiaro.
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